Hypothesentest, Risiko 2.Art < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 So 06.02.2011 | | Autor: | a-c |
| Aufgabe | Vor 10 Jahren gaben noch 40% der Jugendlichen das Lesen von Büchern als wichtiger FReizeitbeschäftigung an. Man hat die VErmutung, dass dieser Prozentsatz abgenommen hat. Um dies zu untersuchen, sollen 500 JUgendliche zufällig ausgewählt und befragt werden. Entwickeln Sie ein Testverfahren mit einem Signifikanzniveau von 7,5%.
( KOntrollergebnisse: Ablehnungsbereich mit 0,5 KOntrollglied [0,183] ohne 0,5 KOntrollglied[0;184]
Berechnen SIe auch die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art, wenn der heutige Prozentsatz 35% beträgt. |
Ich habe den Hypothesentest gemacht und bei mir kommt ein leicht abweichendes Ergebnis raus:
Da gezeigt werden soll, dass der Porzentsatz von 40% der Jugendlichen, die das LEsen als wichtige Freizeitbeschäftigung ansehen, gesunken ist, wird das Gegenteil als Nullhypothese gewählt:
[mm] H_0: [/mm] p [mm] \ge [/mm] 0,4
X kennzeichnet die Anzahl der lesenden Jugendlichen unter 500 Befragten. X ist binomialverteilt mit den Parametern n= 500 und p =0,4. Wegen 0,4*0,6*500=120>9 kann X näherungsweise als normalverteilt angesehen werden. Das Risiko 1.Art, das Signifikanzniveau, soll bei 7,5% liegen. DIe Nullhypothes wird verworfen, wenn zu wenige JUgendliche Lesen als wichtige Freizeitbeschäftigung ansehen.
[mm] \mu=200
[/mm]
[mm] \sigma=2\wurzel[{3}
[/mm]
[mm] P(x\lek)\le [/mm] 0,075
(k gehört zum Ablehnungsbereich)
[mm] \Phi [(k-1-\mu+0,5):\sigma]\le0,075
[/mm]
[mm] [(k-1-\mu+0,5):\sigma]\le [/mm] -1,82
[mm] k\le -1,82*\sigma+\mu-0,5 [/mm] = 179,56
Ablehnungsbereich [0;179]
Fehler 2.Art:
[mm] p_1 [/mm] = 0,35 n=500
Y: Anzahl der Leser
[Ich habe das Kontrollergebnis 0;184 als Grundlage benutzt]
[mm] P(y\ge180)= \Phi [(k-\mu+0,5):\sigma]= \Phi [/mm] (0,79)=78,52%
Der FEhler 2. Art wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 78,52% gemacht.
Ich wäre sehr dankbar für eine Korrketur!
Lg a-c
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 So 06.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi a-c,
einige Sachen:
[mm] \sigma [/mm] ist nicht 2,
das 0,075-Quantil ist nicht -1,82
und warum rechnest du mit k-1? Du sagst selbst, k gehört zum Ablehungsbereich.Es gilt doch dann (mit Stetigkeitskorrektur) [mm] $\alpha\ge P_{H_0}(X\le k)=P_{H_0}(\bruch{X-\mu}{\sigma}\le\bruch{k-\mu}{\sigma})\approx\Phi(\bruch{k-\mu+0,5}{\sigma})
[/mm]
Bei der 2. Aufgabe: warum rechnest du mit [mm] Y\ge [/mm] 180, wenn du sagst, du willst mit dem Zwischenergebnis 184 rechnen, benutzt dann aber auch noch fälschlicherweise die Stetigkeitskorrektur, wo doch beim Zwischenergebnis steht, dass bei 184 ohne sie gearbeitet wurde.
Da musst du alles nochmal nachrechnen/-kucken.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 So 06.02.2011 | | Autor: | a-c |
Das mit [mm] \sigma [/mm] war ein Tippfehler. tut mir leid hab die Wurzel dahinter vergessen. [mm] \sigma=2\wurzel{30}
[/mm]
das mit dem 1- habe ich nur gemacht weil ich das in alten hausaufgaben mal so gefunden habe und nach längerem probieren bin ich so ja auch zum nächsten ergebnis an die originallösung gekommen...
Was ist denn dann der zugehörige [mm] \Phi-Wert? [/mm] +1,82 dann oder nicht?
okay das mit 0;184 war blöd. hab ehrlich gesagt ohne großes nachdenken eins von den ergebnissen genommen.
war der rechenweg denn richtig?
Ich hab also jetzt 0;183 genommen und hab folgendes raus:
[mm] \Phi [/mm] ( 0,89)= 81,33%
Lg a-c
Lg a-c
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 So 06.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi,
> Das mit [mm]\sigma[/mm] war ein Tippfehler. tut mir leid hab die
> Wurzel dahinter vergessen. [mm]\sigma=2\wurzel{30}[/mm]
Ok.
>
> das mit dem 1- habe ich nur gemacht weil ich das in alten
> hausaufgaben mal so gefunden habe und nach längerem
> probieren bin ich so ja auch zum nächsten ergebnis an die
> originallösung gekommen...
Wieso 1- du hast doch k-1 geschrieben, oder hab ich jetzt was falsch verstanden?
>
> Was ist denn dann der zugehörige [mm]\Phi-Wert?[/mm] +1,82 dann
> oder nicht?
Ich lese in meiner Tabelle [mm] $\Phi(-1,82)\approx [/mm] 0,034 $ ab. Es soll doch 0,075 rauskommen...
>
> okay das mit 0;184 war blöd. hab ehrlich gesagt ohne
> großes nachdenken eins von den ergebnissen genommen.
> war der rechenweg denn richtig?
>
> Ich hab also jetzt 0;183 genommen und hab folgendes raus:
>
> [mm]\Phi[/mm] ( 0,89)= 81,33%
Scheint mir nicht zu stimmen. Ich bin mir ziemlich sicher, dass du hier die Umformung zum Gegenereignis vergessen hast. Mach doch mal paar Zwischenschritte.
>
> Lg a-c
>
> Lg a-c
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 07.02.2011 | | Autor: | a-c |
OKay ich hab jetzt herausgefunden wo der Fehler lag. Die Nullhypothese war schon falsch!
also lautet meine Rechnung jetzt so:
[mm] H_0: p\le [/mm] 0,4
[mm] \me=200
[/mm]
[mm] \sigma=2\wurzel{30}
[/mm]
[mm] P(X\ge k)\le0,075
[/mm]
[mm] 1-P(X\le k-1)\le0,075
[/mm]
[mm] 1-\Phi(\bruch{k-\mu+0,5}{\sigma})\le0,075
[/mm]
[mm] -\Phi(\bruch{k-\mu+0,5}{\sigma})\le0,925
[/mm]
[mm] (\bruch{k-\mu+0,5}{\sigma})\ge-1,44
[/mm]
[mm] k\ge -1,44\sigma+\mu-0,5
[/mm]
[mm] k\ge183,7
[/mm]
Ablehnungsbereich [0,184]
OKay und jetzt habe ich Den Fehler 2. Art auch nochmal berechnet:
n=500 und p=0,35
Y: Anzahl der Leser (oder?)
Der Annahmebereich ist dann ja [185;500]
[mm] P(X\ge185)=1-P(X\le184)
[/mm]
[mm] 1-\Phi(\bruch{k-\mu+0,5}{\sigma}=1-\Phi(0,89)=1-0,8133=0,1867
[/mm]
Das müsste jetzt eigentlich alles stimmen, hoffe ich zumindest.
Gruß a-c
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Walde |
> OKay ich hab jetzt herausgefunden wo der Fehler lag. Die
> Nullhypothese war schon falsch!
Nein, die war richtig.
>
> also lautet meine Rechnung jetzt so:
>
> [mm]H_0: p\le[/mm] 0,4
>
> [mm]\me=200[/mm]
> [mm]\sigma=2\wurzel{30}[/mm]
>
> [mm]P(X\ge k)\le0,075[/mm]
>
> [mm]1-P(X\le k-1)\le0,075[/mm]
>
> [mm]1-\Phi(\bruch{k-\mu+0,5}{\sigma})\le0,075[/mm]
>
> [mm]-\Phi(\bruch{k-\mu+0,5}{\sigma})\le0,925[/mm]
>
> [mm](\bruch{k-\mu+0,5}{\sigma})\ge-1,44[/mm]
>
> [mm]k\ge -1,44\sigma+\mu-0,5[/mm]
>
> [mm]k\ge183,7[/mm]
>
Du hast jetzt also rausgefunden, dass , falls k [u]grösser [/] oder gleich 183,7 ist du die Nullhypothese ablehnst.
> Ablehnungsbereich [0,184]
Deine vorgegebene Zwischenlösung für den Ablehnungsbereich ist aber kleiner oder gleich 184.
Das liegt daran, dass du dieses mal die falsche Nullhypothese genommen hast. Der Rechenweg vorher war schon ok,(bis auf die Fehler, die ich erwähnte, Zb. das -1,82)
> OKay und jetzt habe ich Den Fehler 2. Art auch nochmal
> berechnet:
>
> n=500 und p=0,35
Hieran kannst/musst du auch wieder erkennen, dass du oben die falsche Nullhypothese gewählt hast. Das p hier muss ja in [mm] H_1 [/mm] liegen, also gegen [mm] H_0 [/mm] sprechen, sonst würde man keinen Fehler 2.Art machen. Wenn aber [mm] H_0:p\le [/mm] 0,4 wäre, wäre p=0,35 da in Ordnung.
>
> Y: Anzahl der Leser (oder?)
Ja. Genauer:" Anzahl der Jugendlichen von 500, die lesen als wichtige Freitzeitbschäftigung ansehen". Ist die selbe Zufallsvariable wie bei der ersten Teilaufgabe (die du allerdings dort nicht definiert hast (solltest du aber machen)), dh. sie könnte ruhig weiterhin X heissen.
>
> Der Annahmebereich ist dann ja [185;500]
Das ist ein Widerspruch zu deiner Rechnung oben (wegen der Wahl von [mm] H_0, [/mm] wie gesagt), allerdings für diese Aufgabe richtig.
>
> [mm]P(X\ge185)=1-P(X\le184)[/mm]
>
> [mm]1-\Phi(\bruch{k-\mu+0,5}{\sigma}=1-\Phi(0,89)=1-0,8133=0,1867[/mm]
Hier muss es laut ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia -0,5 und nicht +0,5 heissen, weil bei der Stetigkeitskorrektur bei einer linken Grenze abgezogen und bei einer rechten Grenze dazuaddiert wird. Wusste ich jetzt aber auch nicht mehr genau.
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> Das müsste jetzt eigentlich alles stimmen, hoffe ich
> zumindest.
>
> Gruß a-c
lg walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Mo 07.02.2011 | | Autor: | a-c |
Okay ich habs jetzt. die lösung des rätsel ist -1,44!ich war einfach nur zu blöd, die richtige tabelle zu nehmen!
Dann kommt für k nämlich auch [mm] k\le183,7 [/mm] heraus.
VIelen Dank!
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