I.-beweis komplexe Polynome < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:16 Do 24.01.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Es seien k,n [mm] \varepsilon [/mm] N [mm] \cup [/mm] {0} mit 0 [mm] \le k\le [/mm] n und
[mm] a_{k}, [/mm] z [mm] \varepsilon [/mm] C sowie [mm] \emptyset \not= [/mm] I [mm] \subset [/mm] R ein offenes Intervall. Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion die Implikation:
Wenn das komplexe Polynom [mm] p(z)=\summe_{k=0}^{n}a_{k}*z^{k} [/mm] die Gleichung p(x) = 0 für alle x [mm] \varepsilon [/mm] I erfüllt,
dann folgt p(z) = 0 für alle z [mm] \varepsilon [/mm] C .
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Hallo,
also diese Aufgabe muss so richtig schwer sein und ich verstehe ehrlich gesagt nicht mal so richtig was sie überhaupt aussagt. Also ich kann mir nicht bildlich vorstellen was da im Koordinatensystem passiert. Unser Übungsleiter hat gesagt, dass er nicht so richtig erwartet, dass jemand die Aufgabe hinbekommt. Ich möchte es aber wenigstens versuchen. Ich dachte der Induktionsanfang geht eigentlich immer und hab mal folgendes probiert:
n=0 dann gilt: [mm] p(z)=\summe_{k=0}^{o}a_{k}*z^{k}=a_{0}*z^{0}=a_{0}
[/mm]
Damit wenigstens der Induktionsanfang stimmt, müsste [mm] a_{0}=0 [/mm] gelten,
aber hier weiß ich schon nicht wieso das so ist...
Bin für jede Hilfe zu dieser Aufgabe sehr dankbar!
Lg Anne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es seien k,n [mm]\varepsilon[/mm] N [mm]\cup[/mm] {0} mit 0 [mm]\le k\le[/mm] n und
> [mm]a_{k},[/mm] z [mm]\varepsilon[/mm] C sowie [mm]\emptyset \not=[/mm] I [mm]\subset[/mm] R
> ein offenes Intervall. Beweisen Sie mit Hilfe der
> vollständigen Induktion die Implikation:
>
> Wenn das komplexe Polynom [mm]p(z)=\summe_{k=0}^{n}a_{k}*z^{k}[/mm]
> die Gleichung p(x) = 0 für alle x [mm]\varepsilon[/mm] I erfüllt,
> dann folgt p(z) = 0 für alle z [mm]\varepsilon[/mm] C .
>
> Hallo,
>
> also diese Aufgabe muss so richtig schwer sein und ich
> verstehe ehrlich gesagt nicht mal so richtig was sie
> überhaupt aussagt. Also ich kann mir nicht bildlich
> vorstellen was da im Koordinatensystem passiert.
Die Aussage lässt sich einfach in Worte fassen: wenn ein Polynom auf einem ganzen Intervall der reellen Zahlen 0 ist, dann ist es in der ganzen komplexen Ebene 0. Wenn ich diese Aussage umdrehe, heisst das: ein Polynom, das von Null verschieden ist, hat nur isolierte reelle Nullstellen.
> Unser
> Übungsleiter hat gesagt, dass er nicht so richtig erwartet,
> dass jemand die Aufgabe hinbekommt. Ich möchte es aber
> wenigstens versuchen. Ich dachte der Induktionsanfang geht
> eigentlich immer und hab mal folgendes probiert:
>
> n=0 dann gilt:
> [mm]p(z)=\summe_{k=0}^{o}a_{k}*z^{k}=a_{0}*z^{0}=a_{0}[/mm]
>
> Damit wenigstens der Induktionsanfang stimmt, müsste
> [mm]a_{0}=0[/mm] gelten,
> aber hier weiß ich schon nicht wieso das so ist...
Also du hast am Anfang doch das Polynom [mm]p(z)=a_0[/mm], also ein konstantes Polynom. Jetzt ist die Voraussetzung, das es für gewisse reelle Zahlen gleich 0 ist. Genauer gesagt: es gibt ein offenes Intervall, wo es 0 ist. Ein solches offenes Intervall ist ja immer von der Form [mm](a,b)[/mm]. Die Voraussetzung ist also:
[mm] p(x) = 0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm] a
Was folgt also für [mm]a_0[/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Do 24.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Hallo,
also kann ich einfach sagen, dass [mm] p(x)=0=a_{0} [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit a<x<b. Sage ich dann nicht einfach, dass es für a<x<b null sein muss ohne es zu "beweisen"? Wie mache ich denn für so etwas einen Induktionsbeweis? Bin etwas überfordert, weil es eine Implikation und keine Identität ist...
Vielen Dank für eure Tipps!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also kann ich einfach sagen, dass [mm]p(x)=0=a_{0}[/mm] für alle
> [mm]x\in\IR[/mm] mit a<x<b. Sage ich dann nicht einfach, dass es
> für a<x<b null sein muss ohne es zu "beweisen"?
Das kannst du tun.
> Wie mache
> ich denn für so etwas einen Induktionsbeweis? Bin etwas
> überfordert, weil es eine Implikation und keine Identität
> ist...
Der Schluss funktioniert ganz genauso. Also: du weisst jetzt, dass die Implikation gilt für n=0.
Dann nimmst du an, die Implikation gilt für ein n>0. Das heisst, für alle Polynome der Form
[mm] p(z) = \summe_{k=0}^n a_k z^k [/mm]
folgt aus [mm]p(x)=0[/mm] auf I: p=0.
Jetzt nimmst du dir ein Polynom q vom Grad n+1 und nimmst an, dass [mm]q(x)=0[/mm] auf I ist. Dann machst du deine Rechnung wie du es bei der Induktion gewohnt bist und zeigst, dass q=0 herauskommt.
Die Schwierigkeit des Beweises liegt allerdings in dieser Rechnung. Du kannst ja mal versuchen, die Sätze der reellen Analysis auf q anzuwenden.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Do 24.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Ich versuche das mal ganz in Ruhe. Vielleicht bekomme ich das ja hin.
Falls ich zu irgendwas komme, stelle ich es mal ins Netz.
Vielen Dank erstmal für deine Antwort!
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Hallo,
also ich sitze an der selben Aufgabe und habe mir dazu jetzt so einige gedanken gemacht, bin mir aber nicht sicher, ob das soweit überhaupt richtig ist. es wär echt nett, wenn das mal jemand überprüfen könte, denn sonst bräuchte ich an der stelle ja gar nicht weitermachen.
Also erstmal zum induktionsanfang:
n=0 :
p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] (ak [mm] x^{k}) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{0} [/mm] (ak [mm] x^{k}) [/mm] = a0 = 0 (denn das ist ja die ausgangsrichtung der implikation)
[mm] \Rightarrow [/mm] p(z) = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] (ak [mm] z^{k}) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{0} [/mm] (ak [mm] z^{k}) [/mm] = a0 = 0 w.A.
(denn dass a0 = 0 gilt ergibt sich ja aus der aussage für das Intervall I )
So, dann der Induktionsschritt:
aus der ersten Implikation
p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] (ak [mm] x^{k}) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I
[mm] \Rightarrow [/mm] p(z) = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] (ak [mm] z^{k}) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC
[/mm]
folgt die zweite Implikation:
p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] (ak [mm] x^{k}) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I
[mm] \Rightarrow [/mm] p(z) = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] (ak [mm] z^{k}) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC
[/mm]
direkter Beweis der Induktionsbehauptung:
also erstmal gilt:
p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] (ak [mm] x^{k}) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I
aus der Induktionsvorraussetzung weiß ich, dass
p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] (ak [mm] x^{k}) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I
daher muss gelten, dass der letzte Summand der Summe, also an+1 [mm] x^{n+1} [/mm] = 0
um nun die Implikation zu beweisen, muss daraus nun folgen:
[mm] \Rightarrow [/mm] p(z) = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] (ak [mm] z^{k}) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC
[/mm]
dazu würde ich beginnen:
p(z) = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] (ak [mm] z^{k}) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] (ak [mm] z^{k}) [/mm] + ak+1 [mm] z^{n+1} [/mm] = 0 + ak+1 [mm] z^{n+1} [/mm] (leut Induktionsvorraussetzung)
ich müsste nun also zeigen, dass ak+1 [mm] z^{n+1} [/mm] = 0 gilt.
So, das waren bis jetzt meine Überlegungen. Habe ich das soweit richtig gemacht und verstanden?
Danke im Voraus, die_conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Fr 25.01.2008 | | Autor: | SEcki |
> also erstmal gilt:
>
> p(x) = [mm]\summe_{k=0}^{n+1}[/mm] (ak [mm]x^{k})[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I
>
> aus der Induktionsvorraussetzung weiß ich, dass
>
> p(x) = [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] (ak [mm]x^{k})[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I
Das weißt du nicht! Du kannst nicht einfach einen Summanden wegschlagen. Als (heißen) Tipp würde ich allerdings mal versuchen abzuleiten ... hattet ihr das denn schon?
SEcki
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Danke für die Antwort!
Also wieso darf ich meine induktionsvorraussetzung nicht benutzen? weil die sagt doch, dass für die summe bis n gilt ,dass sie 0 ist ?
Das mit dem ableiten einer summe, nein, das hab ich noch nie gemacht.
vielen dank, die_conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Fr 25.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für die Antwort!
>
> Also wieso darf ich meine induktionsvorraussetzung nicht
> benutzen? weil die sagt doch, dass für die summe bis n gilt
> ,dass sie 0 ist ?
Nein, die Induktionsvoraussetzung ist die Aussage:
Wenn ein Polynom vom Grad n auf einem offenen Intervall gleich 0 ist, dann ist es identisch 0.
Daraus musst du die folgende Aussage ableiten:
Wenn ein Polynom vom Grad n+1 auf einem offenen Intervall gleich 0 ist, dann ist es identisch 0.
Das heisst, du nimmst an, dass dein Polynom vom Grad n+1 auf einem offenen Intervall gleich 0 ist und versuchst, mit der ersten Aussage weiterzukommen.
> Das mit dem ableiten einer summe, nein, das hab ich noch
> nie gemacht.
Wie leitest du denn normalerweise eine Summe aus zwei oder drei Termen ab?
Aber unabhängig davon, wie du es ausrechnest: wenn eine reelle Funktion auf einem offenen Intervall gleich 0 ist, was folgt dann für die Ableitung dieser Funktion?
Viele Grüße
Rainer
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Danke für die Antwort!
Also, wenn die Funktion auf einem Intervall 0 ist, dann ist auch dort die Ableitung 0. Richtig?
Also und zu der Ableitung, wenn es analog dem folgt, wie ich sonst ableite, würde ich denken, dass das ganze folgendermaßen abgeleitet wird:
p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n+1}(ak x^{k})
[/mm]
=> p'(x) = [mm] \summe_{k=1}^{n+1}(k [/mm] *ak [mm] x^{k-1})
[/mm]
(ak bedeutet nciht a*k, sondern das k ist der index z dem a)
ist das richtig so?
vielen dank ,die_conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Sa 26.01.2008 | | Autor: | ullim |
> Danke für die Antwort!
>
> Also, wenn die Funktion auf einem Intervall 0 ist, dann ist
> auch dort die Ableitung 0. Richtig?
Genau
> Also und zu der Ableitung, wenn es analog dem folgt, wie
> ich sonst ableite, würde ich denken, dass das ganze
> folgendermaßen abgeleitet wird:
>
> p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n+1}a_k*x^{k}
[/mm]
>
> => p'(x) = [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k*a_k*x^{k-1}
[/mm]
>
> (ak bedeutet nciht a*k, sondern das k ist der index z dem
> a)
>
> ist das richtig so?
Ist auch richtig und kann man auch schreiben als
p'(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n}(k+1)*a_{k+1}*x^{k}
[/mm]
Jetzt ist die Ableitung aber = 0 und p'(x) ein Polynom n-ter Ordnung auf die man die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Damit bekommst Du eine Aussage über die Koeffizienten des Polynoms.
>
> vielen dank ,die_conny
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Sa 26.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Hallo,
dann fehlt mir jetzt noch eine Schlussfolgerung. Ich weiß
[mm] p(x)=\summe_{k=0}^{n+1}a_{k}*x^{k}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow p'(x)=\summe_{k=1}^{n+1}k*a_{k}*x^{k-1}=\summe_{k=0}^{n}(k+1)*a_{k+1}*x^{k}=0
[/mm]
Jetzt kann ich ja weiter nach der Induktionsvoraussetzung schlussfolgern, aber was? Da hab ich noch Probleme. Ich würde sagen:
[mm] p'(z)=\summe_{k=0}^{n}(k+1)*a_{k+1}*z^{k}=0
[/mm]
Damit weiß ich, dass die erste Ableitung des komplexen Polynoms immer null ist, aber ich wollte ja eigentlich dazu kommen, dass gilt:
[mm] p(z)=\summe_{k=0}^{n+1}a_{k}*z^{k}=0 [/mm] und nur weil die Ableitung null ist, heißt das ja noch lange nicht das die Stammfunktion null ist, oder?
Lg Anne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Sa 26.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi Anne,
ich würde wie folgt argumentieren, da
[mm] p'(x)=\summe_{k=0}^{n}(k+1)\cdot{}a_{k+1}\cdot{}x^{k} [/mm] gilt, und p'(x)=0 ist und
das Polynom p'(x) maximal n Nullstellen besitzen kann
ergibt sich, dass die Koeffizienten des Polynoms müssen 0 sein. Also
[mm] (k+1)*a_{k+1}=0 [/mm] für k=0..n oder [mm] a_k=0 [/mm] für k=1..n+1.
D.h. aber das Polynom p(x) sieht wie folgt aus
[mm] p(x)=a_0. [/mm] Da gilt p(x)=0 folgt [mm] a_0=0 [/mm] und damit gilt
p(z)=0
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Sa 26.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Das ist mir noch nicht ganz klar
> [mm]p'(x)=\summe_{k=0}^{n}(k+1)\cdot{}a_{k+1}\cdot{}x^{k}[/mm] gilt,
> und p'(x)=0 ist und
>
> das Polynom p'(x) maximal n Nullstellen besitzen kann
Ok, das ist logisch, aber
> ergibt sich, dass die Koeffizienten des Polynoms müssen 0
> sein. Also
>
> [mm](k+1)*a_{k+1}=0[/mm] für k=0..n oder [mm]a_k=0[/mm] für k=1..n+1.
Wieso müssen die Koeffizienten null sein? Wenn p'(x)=0 gilt, dann heißt das doch nur, dass es n viele x geben kann für die die Ableitung null wird. Das ist doch ganz unabhängig von den Koeffizienten, oder?
> D.h. aber das Polynom p(x) sieht wie folgt aus
>
> [mm]p(x)=a_0.[/mm] Da gilt p(x)=0 folgt [mm]a_0=0[/mm] und damit gilt
>
> p(z)=0
>
> mfg ullim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Sa 26.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi Anne,
angenommen es gibt einen Index k beim Polynom p'(x) mit
[mm] (k+1)*a_{k+1} \ne [/mm] 0 für k=0..n, dann bedeutet das, dass das Polynom
p(x) einen Grad [mm] \ge [/mm] 1 besitzt, und somit maximal n Nullstellen besitzen kann. Da das Polynom aber für alle x [mm] \in [/mm] I den Wert 0 annimmt, hat es unter der getroffenen Annahme mehr als n Nullstellen. Das ist ein Wiederspruch, also muss gelten
[mm] a_{k+1}=0 [/mm] für alle k=0..n
Der Beweis warum [mm] a_0=0 [/mm] gilt bleibt so wie beschrieben.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 29.01.2008 | | Autor: | Tavaril |
Ich habe mir jetzt den ganzen nachmittag den Kopf über dieser Aufgabe zerbrochen und das was hier so geschrieben steht ist ja auch alles schön und gut...
aber wenn ich dieses Hintertürchen über die Anzahl der Nullstellen benutze, kann ich mir doch im prinzip die ganze Induktion sparen.
Denn dann kann ich ja schon ganz am anfang folgern, dass aus
[mm] \summe_{k=0}^{n} (a_{k}*z^{k}) [/mm] folgt, dass [mm] a_{k} [/mm] null sein muss für alle k=0,...,n
oder?
und dann bin ich auch ohne Induktion am Ziel angekommen..
Da allerdings in der Aufgabenstellung extra auf die Induktion verwiesen wurde werde ich das gefühl nicht los, dass wir hier eigentlich einen ganz anderen weg gehen sollten
Hoffe, da kann mir noch wer auf die Sprünge helfen
Lg, Tava
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Di 29.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tava!
> Ich habe mir jetzt den ganzen nachmittag den Kopf über
> dieser Aufgabe zerbrochen und das was hier so geschrieben
> steht ist ja auch alles schön und gut...
> aber wenn ich dieses Hintertürchen über die Anzahl der
> Nullstellen benutze, kann ich mir doch im prinzip die ganze
> Induktion sparen.
> Denn dann kann ich ja schon ganz am anfang folgern, dass
> aus
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (a_{k}*z^{k})[/mm] folgt, dass [mm]a_{k}[/mm] null sein
> muss für alle k=0,...,n
>
> oder?
>
> und dann bin ich auch ohne Induktion am Ziel angekommen..
> Da allerdings in der Aufgabenstellung extra auf die
> Induktion verwiesen wurde werde ich das gefühl nicht los,
> dass wir hier eigentlich einen ganz anderen weg gehen
> sollten
Wir haben folgendes:
Gegeben ein Polynom [mm]p(x) = \summe_{k=0}^{n+1} a_k x^k [/mm], das auf einem reellen Intervall [mm](a,b)[/mm] gleich Null ist.
Daraus folgt, dass auch die Ableitung [mm]p'(x)[mm] auf diesem Intervall gleich Null ist.
Die Ableitung ist ein Polynom n-ten Grades, also ist nach Induktionsvoraussetzung [mm]p'(z)=0[/mm] in ganz [mm]\IC[/mm].
Daher muss [mm]p(z)[/mm] in ganz [mm]\IC[/mm] konstant sein. Für diesen Schluss brauche ich keine Aussage über die Nullstellen des Polynoms. Ich kann direkt mit den Koeffizienten argumentieren: da [mm]p'(z)=0[/mm] ist, müssen alle Koeffizienten [mm]a_k[/mm] für [mm]1\le k\le n+1[/mm] einzeln gleich 0 sein. Also ist [mm]p(z)=a_0[/mm].
Da aber das Polynom p auf dem Intervall [mm](a,b)[/mm] gleich Null ist, ist es identisch Null in ganz [mm]\IC[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 29.01.2008 | | Autor: | Tavaril |
Du schreibst:
Da p'(z)=0 ist müssen alle koeffizienten [mm] a_{k} [/mm] Null sein für [mm] 1\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n+1
aber warum gilt denn das? Das habe ich immernoch nicht verstanden.
Vielleicht kannst du mir das nochmal genauer erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Di 29.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Du schreibst:
> Da p'(z)=0 ist müssen alle koeffizienten [mm]a_{k}[/mm] Null sein
> für [mm]1\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n+1
> aber warum gilt denn das? Das habe ich immernoch nicht
> verstanden.
> Vielleicht kannst du mir das nochmal genauer erklären?
Die Polynome bilden einen Ring über den komplexen Zahlen. Das Nullelement des Ringes ist eindeutig. Es gibt also nur ein Polynom, das überall 0 ist, nämlich das, dessen Koeffizienten alle 0 sind. Die Koeffiziente von [mm]p'[/mm] sind [mm]ka_{k-1}[/mm], die müssen alle 0 sein, also sind alle [mm]a_k=0[/mm] (außer [mm]a_0[/mm]).
Ich hätte noch eine alternative Erklärung: Wir wissen, dass [mm]p'(z)=0[/mm] auf ganz [mm]\IC[/mm]. Dann muss [mm]p(z)[/mm] konstant sein auf ganz [mm]\IC[/mm], denn es gibt keine nicht konstante Funktion, deren Ableitung überall 0 ist.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 29.01.2008 | | Autor: | Tavaril |
Super Danke!!
Jetzt hab ichs verstanden.
Wobei ich finde, dass das über die Tatsache, dass p(z) konstant sein muss, wesentlich einleuchtender ist :)
Vielen Dank jedenfalls!
Liebe Grüße, Tava
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Di 29.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi Anne,
>
> ich würde wie folgt argumentieren, da
>
> [mm]p'(x)=\summe_{k=0}^{n}(k+1)\cdot{}a_{k+1}\cdot{}x^{k}[/mm] gilt,
> und p'(x)=0 ist und
>
> das Polynom p'(x) maximal n Nullstellen besitzen kann
>
> ergibt sich, dass die Koeffizienten des Polynoms müssen 0
> sein.
Mir ist nicht klar, warum ich dazu den Fundamentalsatz brauche.
Nach Induktionsvoraussetzung weiss ich doch an dieser Stelle schon, dass das Polynom in ganz [mm]\IC[/mm] gleich 0 ist. Und das Nullpolynom ist eindeutig, alle seine Koeffizienten sind 0. Oder übersehe ich da was?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Do 31.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi Rainer,
Du hast Recht und ich denke Du hast die elegantere Lösung gefunden.
mfg ullim
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