\IR-lineare Abb. konstruieren < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] b_{1}:=(1,2,3), b_{2}:=(2,3,1), b_{3}:=(3,1,2), b_{4}:=(2,0,4)Vektoren [/mm] aus [mm] \IR^3. [/mm] Entscheiden Sie, ob zu den folgenden vier Vektoren [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} [/mm] aus [mm] \IR^4 [/mm] jeweils eine [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung f: [mm] \IR^4 \to \IR^3 [/mm] existiert, die für jedes j [mm] \in [/mm] {1,2,3,4} [mm] a_{j} [/mm] auf [mm] b_{j} [/mm] abbildet. Ja oder Nein?
1.) [mm] a_{1}:= [/mm] (1,1,0,0) [mm] a_{2}:= [/mm] (1,1,1,0) [mm] a_{3}:= [/mm] (0,1,1,1)
[mm] a_{4}:= [/mm] (0,0,1,1)
2.) [mm] a_{1}:= [/mm] (0,1,1,1) [mm] a_{2}:= [/mm] (1,0,1,1) [mm] a_{3}:= [/mm] (1,1,0,1)
[mm] a_{4}:= [/mm] (-1,1,0,0)
3.) [mm] a_{1}:= [/mm] (0,1,1,1) [mm] a_{2}:= [/mm] (1,0,1,1) [mm] a_{3}:= [/mm] (1,1,0,1)
[mm] a_{4}:= [/mm] (0,2,0,1) |
Hallo!
Also, ich weiß momentan nicht, wie ich an die Aufgabe herangehen soll, was zu tun ist. Muss ich als erstes schauen, mit was ich den [mm] a_{1} [/mm] addieren oder multiplizieren muss damit ich bei [mm] b_{1} [/mm] lande und dann gucken ob ich das gleiche auch mit den anderen [mm] a_{2} [/mm] bis [mm] a_{4} [/mm] machen kann um auf die dazugehörigen [mm] b_{2} [/mm] bis [mm] b_{4} [/mm] zu kommen? Und dann noch gucken ob das auch [mm] \IR-linear [/mm] wäre?
Wenn ich das so machen müsste würde ich spontan sagen, dass das bei keinem funktioniert.
Würde mich über Hilfe freuen :)
Danke!
MFG
Ich habe diese frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien [mm]b_{1}:=(1,2,3), b_{2}:=(2,3,1), b_{3}:=(3,1,2), b_{4}:=(2,0,4)Vektoren[/mm]
> aus [mm]\IR^3.[/mm] Entscheiden Sie, ob zu den folgenden vier
> Vektoren [mm]a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}[/mm] aus [mm]\IR^4[/mm] jeweils eine
> [mm]\IR-lineare[/mm] Abbildung f: [mm]\IR^4 \to \IR^3[/mm] existiert, die
> für jedes j [mm]\in[/mm] {1,2,3,4} [mm]a_{j}[/mm] auf [mm]b_{j}[/mm] abbildet. Ja
> oder Nein?
> 1.) [mm]a_{1}:=[/mm] (1,1,0,0) [mm]a_{2}:=[/mm] (1,1,1,0) [mm]a_{3}:=[/mm]
> (0,1,1,1)
> [mm]a_{4}:=[/mm] (0,0,1,1)
>
> 2.) [mm]a_{1}:=[/mm] (0,1,1,1) [mm]a_{2}:=[/mm] (1,0,1,1) [mm]a_{3}:=[/mm]
> (1,1,0,1)
> [mm]a_{4}:=[/mm] (-1,1,0,0)
>
> 3.) [mm]a_{1}:=[/mm] (0,1,1,1) [mm]a_{2}:=[/mm] (1,0,1,1) [mm]a_{3}:=[/mm]
> (1,1,0,1)
> [mm]a_{4}:=[/mm] (0,2,0,1)
> Hallo!
> Also, ich weiß momentan nicht, wie ich an die Aufgabe
> herangehen soll, was zu tun ist. Muss ich als erstes
> schauen, mit was ich den [mm]a_{1}[/mm] addieren oder multiplizieren
> muss damit ich bei [mm]b_{1}[/mm] lande und dann gucken ob ich das
> gleiche auch mit den anderen [mm]a_{2}[/mm] bis [mm]a_{4}[/mm] machen kann um
> auf die dazugehörigen [mm]b_{2}[/mm] bis [mm]b_{4}[/mm] zu kommen? Und dann
> noch gucken ob das auch [mm]\IR-linear[/mm] wäre?
> Wenn ich das so machen müsste würde ich spontan sagen,
> dass das bei keinem funktioniert.
> Würde mich über Hilfe freuen :)
> Danke!
> MFG
Hallo,
EDIT: mir ist gerade aufgefallen, daß ich die Frage beantwortet habe für [mm] "b_j [/mm] wird auf [mm] a_j" [/mm] abgebildet.
Das Prinzip bleibt gleich: einer Basis des Startraumes kann man beliebige Funktionswerte zuweisen, bei Linearkombinationen der Basiselemente muß es dann passen.
Gruß v. Angela
es ist [mm] (b_1, b_2, b_3) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Bei der Zuweisung der Funktionswerte [mm] f(b_i)=a_i, [/mm] i=1,2,3 kann überhaupt nichts schieflaufen - es gibt immer eine lineare Abbildung, die tut, was sie tun soll:
[mm] f(\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+\lambda_3b_3):=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3.
[/mm]
Kritisch kann's werden bei [mm] f(b_4)=a_4.
[/mm]
[mm] b_4 [/mm] ist ja eine Linearkombination von [mm] (b_1, b_2, b_3), [/mm] also muß für [mm] b_4=\mu_1b_1+\mu_2b_2+\mu_3b_3 [/mm] gelten
[mm] a_4=f(b_4)=f(\mu_1b_1+\mu_2b_2+\mu_3b_3)=\mu_1a_1+\mu_2a_2+\mu_3a_3,
[/mm]
und dies ist es, was Du in Deiner Aufgabe prüfen mußt.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Ich stehe irgendwie auf dem Schlau! Wie finde ich denn eine lineare Abbildung, überhaupt schon, wenn wir b(4) und a(4) mal außer Betracht lassen, ich weiß gar nicht was ich tun müsste um eine zu finden. Kannst du mir bitte ein Beispiel für eine geben und wie du sie gefunden hast?
Danke!
MFG
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> Hallo Angela!
> Ich stehe irgendwie auf dem Schlau! Wie finde ich denn
> eine lineare Abbildung, überhaupt schon, wenn wir b(4) und
> a(4) mal außer Betracht lassen, ich weiß gar nicht was
> ich tun müsste um eine zu finden. Kannst du mir bitte ein
> Beispiel für eine geben und wie du sie gefunden hast?
> Danke!
> MFG
Hallo,
daß ich Dir auf die nicht gestellte Frage danach, ob man eine lineare Abbildung f findet mit [mm] f(b_i)=a_i [/mm] geantwortet habe, hast Du gesehen?
Ich setze die Betrachtung jetzt mit dieser Fragestellung fort.
Du willst wissen, wie ich eine lineare Abbildung bekomme, für welche [mm] f(b_i)=a_i [/mm] mit i=1,2,3 ist.
Ich hatte das schon geschrieben:
ich definiere
[mm] f(r_1b_1+r_2b_2+r_3b_3):=r_1a_1+r_2a_2+r_3a_3.
[/mm]
Warum ist die Abbildung wohldefinert?
Jedes Element [mm] v\in \IR^3 [/mm] kann man, da [mm] (b_1, b_2, b_3) [/mm] eine Basis ist, auf eindeutige Weise als Linearkombination [mm] v=r_1b_1+r_2b_2+r_3b_3 [/mm] schreiben.
Daher ist die Zuordnung des Funktionswertes [mm] r_1a_1+r_2a_2+r_3a_3 [/mm] zu v eindeutig.
Die Linearität der Abbildung kannst Du nun nachrechnen:
nimm [mm] v:=\summe r_iv_i [/mm] und [mm] w=\summes_iw_i [/mm] und berechne f(v+w) sowie für [mm] \lambda\in \IR \qqad f(\lambda [/mm] v).
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Do 14.01.2010 | | Autor: | Ersty |
| Aufgabe | Seien [mm] b_{1} [/mm] := (1,2,3), [mm] b_{2} [/mm] := (2,3,1), [mm] b_{3} [/mm] := (3,1,2), [mm] b_{4} [/mm] := (2,0,4) Vektoren aus [mm] \IR^{3}. [/mm]
Entscheiden Sie, ob zu den folgenden vier Vektoren
[mm] a_{1} [/mm] = (1,1,0,0), [mm] a_{2} [/mm] = (1,1,1,0), [mm] a_{3} [/mm] = (0,1,1,1,), [mm] a_{4} [/mm] = (0,0,1,1)
eine [mm] \IR [/mm] -lineare Abbildung f: [mm] \IR^{4} [/mm] nach [mm] \IR^{3} [/mm] existiert, die für jedes j [mm] \in [/mm] {1,2,3,4,} [mm] a_{j} [/mm] auf [mm] b_{j} [/mm] abbildet. |
Hallo,
ich und ein Komillitone sind am "streiten" wer Recht hat. Könnt ihr uns vlt weiterhelfen, wo der Denkfehler liegt?
es gilt: f(a1) = (1,2,3), f(a2) = (2,3,1) f(a3) = (3,1,2) f(a4) = (2,0,4)
Linearität generell ja: f(x+y) = f(x) + f(y), d.h. es ist egal, ob ich erst rechne und dann abbildet, oder umgekehrt
1. Aussage:
Es existiert KEINE R-lineare Abbildung, weil:
Es gilt: f(a1) - f(a2) + f(a3) = f(a4)
Nach Bedingung, dass f K-Linear sein muss ("Homomorphieeigenschaften" hat)
müsste also auch gelten f(a1 - a2 + a3) = f(a4)
für (a1 - a2 + a3) kommt aber nicht a4 = (0,0,1,1), sondern (0,1,0,1) raus, also --> f ist keine K-lineare Abbildung von R4 nach R3!!!
Müsste man nicht eher folgende "Linearität prüfen"
f(a1)-f(a2)+f(a3)-f(a4) = f(a1-a2+a3-a4)?
Ist f R-linear, müsste dann eine wahre Aussage herauskommen, hier 0 = 0.
Das müsste gelten, da eine lineare Abbildung immer die 0 auf die 0 abbilden muss, ansonsten gehts Rechnen mit Skalarer-Multi schief!
f(a1)-f(a2)+f(a3)-f(a4) = f(a1-a2+a3-a4)?
b1-b2+b3-b4 = f(0,1,1,2)
0 = Blödsinn^^
Also ist hier irgendwas faul..... liegt aber eher an der falschen "Prüfung", oder ist f wirklich nicht linear?
2. Aussage:
Es existiert eine R-lineare Abbildung, weil:
Eine lineare Abbildung ist durch ihre Wirkung auf der Basis charakterisiert.
Sind die [mm] a_{j} [/mm] lin. unabhängig, dann bilden sie eine Basis.
Damit wissen wir dann, das f R-linear ist.
Ist das richtig argumentiert?
Wenn das gelten sollte, dann rechnet man:
Stelle die [mm] a_{j} [/mm] in einer Matrix dar, bringe sie auf ZSF und man erhält, dass sie linear unabhängig sind, also (a1,....,a4) Basis.
=> f = R-linear
Wäre toll, wenn ihr uns helft, damit wir mit dem Verständnis von linearen Abbildungen weiter kommen.
Vielen Dank an dieser Stelle schon!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
MFG Ersty
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> Seien [mm]b_{1}[/mm] := (1,2,3), [mm]b_{2}[/mm] := (2,3,1), [mm]b_{3}[/mm] := (3,1,2),
> [mm]b_{4}[/mm] := (2,0,4) Vektoren aus [mm]\IR^{3}.[/mm]
> Entscheiden Sie, ob zu den folgenden vier Vektoren
> [mm]a_{1}[/mm] = (1,1,0,0), [mm]a_{2}[/mm] = (1,1,1,0), [mm]a_{3}[/mm] = (0,1,1,1,),
> [mm]a_{4}[/mm] = (0,0,1,1)
> eine [mm]\IR[/mm] -lineare Abbildung f: [mm]\IR^{4}[/mm] nach [mm]\IR^{3}[/mm]
> existiert, die für jedes j [mm]\in[/mm] {1,2,3,4,} [mm]a_{j}[/mm] auf [mm]b_{j}[/mm]
> abbildet.
> Hallo,
> ich und ein Komillitone sind am "streiten" wer Recht hat.
> Könnt ihr uns vlt weiterhelfen, wo der Denkfehler liegt?
Hallo,
ich hoffe, daß ich nicht die Schuldige dieser Verwirrung bin...
Die [mm] a_i [/mm] bilden eine Basis des [mm] \IR^4, [/mm] und deshalb ist es völlig schnuppe, welche Funktionswerte aus dem [mm] \IR^3 [/mm] den [mm] a_i [/mm] zugewiesen werden: es gibt immer eine entsprechnede lineare Abbildung, nämlich
[mm] f(r_1a_1+r-2a_2+r_3a_3+r_4a_4):=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Do 14.01.2010 | | Autor: | Ersty |
also sind die ai eine Basis und damit f eine lineare Abb. in meiner gestellten Frage?
Ist meine Argumentation richtig?
Wenn ja, wieso stimmt die 1. Argumentation nicht?
Ich wäre sehr dankbar, falls ihr mir einen Satz dazu noch schreiben könntet.
Vielen Dank!
MFG Ersty
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Do 14.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> also sind die ai eine Basis und damit f eine lineare Abb.
> in meiner gestellten Frage?
Ja, die [mm] $a_i$ [/mm] bilden eine Basis und es existiert eine Abbildung f mit den gewünschten Eigenschaften, wie Angela ausgeführt hat.
> Wenn ja, wieso stimmt die 1. Argumentation nicht?
> Es gilt: f(a1) - f(a2) + f(a3) = f(a4)
> Nach Bedingung, dass f K-Linear sein muss ("Homomorphieeigenschaften" hat)
> müsste also auch gelten f(a1 - a2 + a3) = f(a4)
Bis dahin korrekt.
> für (a1 - a2 + a3) kommt aber nicht a4 = (0,0,1,1), sondern (0,1,0,1) raus
Ja und? Dann ist also $f(0,1,0,1)=f(0,0,1,1)$. Und da f nicht als injektiv vorausgesetzt war, spricht nichts dagegen!
> f(a1)-f(a2)+f(a3)-f(a4) = f(a1-a2+a3-a4)?
> Ist f R-linear, müsste dann eine wahre Aussage herauskommen, hier 0 = 0.
> Das müsste gelten, da eine lineare Abbildung immer die 0 auf die 0 abbilden muss, ansonsten gehts Rechnen mit Skalarer-Multi schief!
[mm] ($a_1-a_2+a_3-a_4$ [/mm] ist gar nicht 0.)
> f(a1)-f(a2)+f(a3)-f(a4) = f(a1-a2+a3-a4)?
> b1-b2+b3-b4 = [mm] f(0,1,\red{-1,0}) [/mm]
> 0 = Blödsinn^^
Nein, kein Blödsinn! Warum sollte nicht $f(0,1,-1,0)=0$ gelten?
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Hallo!
Okay, inzwischen habe ich die Aufagbe endlich halbwegs verstanden ;)
Also:
3.) Ist richtig, oder?
Wenn [mm] f(a_{1}) [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] , [mm] f(a_{2}) [/mm] = [mm] b_{2} [/mm] , [mm] f(a_{3}) [/mm] = [mm] b_{3} [/mm] , [mm] f(a_{4}) [/mm] = [mm] b_{4}) [/mm]
[mm] f(a_{1})-f(a_{2})+f(a_{3})=f(a_{4}) [/mm] und
[mm] f(a_{1} [/mm] - [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3}) [/mm] = [mm] f(a_{4})
[/mm]
Also [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 4}
[/mm]
und
[mm] f(\vektor{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}) [/mm] = [mm] f(\vektor{0 \\ 2 \\ 0 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 4} [/mm] = [mm] b_{4} [/mm]
Es ist also egal ob ich erst rechne oder abbilde.
2.) Hier sind ja [mm] a_{1} [/mm] bis [mm] a_{3} [/mm] die gleichen wie bei 3.) nur [mm] a_{4} [/mm] ist ein anderer vektor. Also geht die Rechnung nicht so auf wie bei 3.) aber es gibt trotzdem eine [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung? Mit der Begründung, dass die [mm] a_{1} [/mm] bis [mm] a_{4} [/mm] linear unabhängig sind also in [mm] \IR^4 [/mm] eine Basis?
MFG
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> Hallo!
> Okay, inzwischen habe ich die Aufagbe endlich halbwegs
> verstanden ;)
>
> Also:
> 3.) Ist richtig, oder?
Hallo,
ich weiß jetzt gar nicht, was Du mit 3.) und 2.) meinst.
Falls es um die eingangs von Dir gepostete Aufgabe geht:
Da [mm] (a_1, [/mm] .., [mm] a_4) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ist,
ist
[mm] f(\summe \lambda_i a_i):= \summe \lambda_i b_i [/mm] immer eine lineare Abbildung, egal, welches die Vektoren [mm] b_i [/mm] sind mit [mm] f(a_i)=b_i, [/mm] i=1,2,3,4.
Auch eine andere Wahl bon [mm] b_4 [/mm] kann nichts verderben.
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Wenn man allerdings [mm] g(b_i):=a_i [/mm] anschaut, sieht das anders aus.
Hier muß, da [mm] b_4 [/mm] eine Linearkombination v- [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] ist, der Funktionswert [mm] a_i [/mm] entsprechend passen.
Gruß v. Angela
> Wenn [mm]f(a_{1})[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] , [mm]f(a_{2})[/mm] = [mm]b_{2}[/mm] , [mm]f(a_{3})[/mm]
> = [mm]b_{3}[/mm] , [mm]f(a_{4})[/mm] = [mm]b_{4})[/mm]
> [mm]f(a_{1})-f(a_{2})+f(a_{3})=f(a_{4})[/mm] und
> [mm]f(a_{1}[/mm] - [mm]a_{2}[/mm] + [mm]a_{3})[/mm] = [mm]f(a_{4})[/mm]
> Also [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1}[/mm] +
> [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 4}[/mm]
> und
> [mm]f(\vektor{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> + [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1})[/mm] = [mm]f(\vektor{0 \\ 2 \\ 0 \\ 1})[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 4}[/mm] = [mm]b_{4}[/mm]
> Es ist also egal ob ich erst rechne oder abbilde.
>
> 2.) Hier sind ja [mm]a_{1}[/mm] bis [mm]a_{3}[/mm] die gleichen wie bei 3.)
> nur [mm]a_{4}[/mm] ist ein anderer vektor. Also geht die Rechnung
> nicht so auf wie bei 3.) aber es gibt trotzdem eine
> [mm]\IR-lineare[/mm] Abbildung? Mit der Begründung, dass die [mm]a_{1}[/mm]
> bis [mm]a_{4}[/mm] linear unabhängig sind also in [mm]\IR^4[/mm] eine
> Basis?
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> MFG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 So 17.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Hey,
ich kenne die Aufg.^^.
also ich würde bei 4,3 auch "ja" sagen...
LG
pythagora
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