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Hallo zusammen,
in den Anfänger-Vorlesungen zur Analysis ist es ja oft so, dass die reellen Zahlen "vom Himmel fallen" durch Axiome und man daraus die kleineren Zahlbereiche konstruiert: [mm] $\IN$ [/mm] ist der kleinste Unterhalbring, [mm] $\IZ$ [/mm] der kleinste Unterring, [mm] $\IQ$ [/mm] der kleinste Unterkörper, und dann konstruiert man [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IR$-Algebra [/mm] mit unterliegendem Vektorraum [mm] $\IR^2$ [/mm] und zeigt, dass das ein Körper ist.
Meine Frage ist, ob man auch mit [mm] $\IC$ [/mm] anfangen könnte und dann [mm] $\IR$ [/mm] als Unterkörper charakterisieren könnte. Wie ginge das? Oder man könnte auch [mm] $\IC$ [/mm] konstruieren ohne [mm] $\IR$ [/mm] zu konstruieren, beispielsweise nimmt man [mm] $\IQ$, [/mm] adjungiert eine Nullstelle von [mm] $X^2+1$, [/mm] zeigt, dass das als unterliegenden VR [mm] $\IQ^2$ [/mm] hat, nimmt die Produktmetrik von [mm] $\IQ$ [/mm] und bildet die Cauchy-Vervollständigung. Wie könnte ich hierin die reellen Zahlen wiederfinden? (Natürlich als topologischer Abschluss von [mm] $\IQ$, [/mm] aber mir geht es mehr um algebraische Eigenschaften.)
Beispielsweise kann man [mm] $\IC$ [/mm] auch als bis auf Isomorphie eindeutigen algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik $0$ definieren, der als Mächtigkeit das Kontinuum hat. Das käme den reellen-Zahlen-Axiomen gleich. Wie finde ich hier jetzt [mm] $\IR$ [/mm] wieder?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Mi 31.12.2014 | | Autor: | hippias |
Haette man sich [mm] $\IC$ [/mm] irgendwoher beschafft, so koennte man so konstruieren: In der Theorie formal reeller Koerper gibt es folgenden Satz von Artin: Sei $C$ ein algebraisch abgeschlossener Koerper und [mm] $K\leq [/mm] C$ echter Teilkoerper. Ist [mm] $\dim_{K} [/mm] C$ endlich, so existiert [mm] $i\in [/mm] C$, sodass $C=K(i)$ und [mm] $i^{2}+1=0$. [/mm] Darueber hinaus ist $K$ dann reell abgeschlossen.
Aber es waere wohl ZIEMLICH unnatuerlich darueber [mm] $\IR$ [/mm] einzufuehren. Aber vielleicht hat jemand noch eine bessere Idee (oder Du hast etwas anderes gemeint).
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Hi,
Danke schonmal soweit.
> Haette man sich [mm]\IC[/mm] irgendwoher beschafft, so koennte man
> so konstruieren: In der Theorie formal reeller Koerper gibt
> es folgenden Satz von Artin: Sei [mm]C[/mm] ein algebraisch
> abgeschlossener Koerper und [mm]K\leq C[/mm] echter Teilkoerper.
$ K $ sollen doch am Ende unsere reellen Zahlen werden oder? Woher weiß ich denn, dass es diesen Unterkörper gibt?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Mi 31.12.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Haette man sich [mm]\IC[/mm] irgendwoher beschafft, so koennte man
> > so konstruieren: In der Theorie formal reeller Koerper gibt
> > es folgenden Satz von Artin: Sei [mm]C[/mm] ein algebraisch
> > abgeschlossener Koerper und [mm]K\leq C[/mm] echter Teilkoerper.
>
> [mm]K[/mm] sollen doch am Ende unsere reellen Zahlen werden oder?
genau, sie sind es (bis auf Isomorphie) sogar.
> Woher weiß ich denn, dass es diesen Unterkörper gibt?
Gute Frage 
Wenn du zeigen könntest, dass es einen Automorphismus $C [mm] \to [/mm] C$ gibt von endlicher Ordnung (der nicht gerade Ordnung 1 hat), so kannst du dessen Fixkoerper anschauen $K$: $[C : K]$ ist gleich der Ordnung des Automorphismus. Wenn du jetzt den Satz von Artin anwendest, bekommst du dass die Ordnung 2 ist und $K$ isomorph zu [mm] $\IR$.
[/mm]
Wie man allerdings zeigen kann, dass so ein Automorphismus existiert: gute Frage...
Ich wuerd mal schauen, in welchem Kontext Artin den Satz bewiesen hat. Da wird sich sicher mehr zu dem Thema finden, vielleicht auch eine direkte Antwort auf deine Frage...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Mi 31.12.2014 | | Autor: | hippias |
Haha, nein, ich kann auch nicht ohne weiteres die Existenz eines solchen Teilkoerpers nachweisen (oder eines endlchen Automorphismus). Ich wollte nur einen Denkanstoss geben. Eventuell wuerde sich aus der vorausgesetzten Konstruktion von [mm] $\IC$ [/mm] etwas ergeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 02.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Frohes neues Jahr!
Auf die Frage bin ich wegen ![[]](/images/popup.gif) dieser Diskussion auf stackexchange gekommen. Soll ich dort nochmal die Frage stellen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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