\IZ [\wurzel{n}] < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Aussage ist folgende: Betrachtet man den Integritätsbereich [mm] \IZ [\wurzel{n}] [/mm] = { [mm] a+b\wurzel{n} [/mm] | a,b [mm] \in \IZ [/mm] } für n [mm] \in \IZ, [/mm] n [mm] \not= [/mm] 0, n [mm] \not= [/mm] 1, n quadratfrei, dann lässt sich jedes Element aus [mm] \IZ [\wurzel{n}] [/mm] eindeutig in der Form [mm] a+b\wurzel{n} [/mm] mit a,b [mm] \in \IZ [/mm] darstellen.
Hierbei meint quadratfrei: Es existiert keine Primzahl p mit p² | n.
Ich weiß, dass es was mit dem Eisensteinkriterium bei einer Körpererweiterung vom Grad 2 zu tun hat, dass man die Elemente aus [mm] \IZ [\wurzel{n}] [/mm] so schreiben kann, aber kann mir das jemand nochmal genau erklären? Warum lassen sich alle Elemente so schreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Aussage ist folgende: Betrachtet man den
> Integritätsbereich [mm]\IZ [\wurzel{n}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]a+b\wurzel{n}[/mm] |
> a,b [mm]\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} für n [mm]\in \IZ,[/mm] n [mm]\not=[/mm] 0, n [mm]\not=[/mm] 1, n
> quadratfrei, dann lässt sich jedes Element aus [mm]\IZ [\wurzel{n}][/mm]
> eindeutig in der Form [mm]a+b\wurzel{n}[/mm] mit a,b [mm]\in \IZ[/mm]
> darstellen.
> Hierbei meint quadratfrei: Es existiert keine Primzahl p
> mit p² | n.
>
> Ich weiß, dass es was mit dem Eisensteinkriterium bei
> einer Körpererweiterung vom Grad 2 zu tun hat, dass man
> die Elemente aus [mm]\IZ [\wurzel{n}][/mm] so schreiben kann, aber
> kann mir das jemand nochmal genau erklären? Warum lassen
> sich alle Elemente so schreiben?
Nun, das man jedes Element so schreiben kann folgt aus der Definition und aus [mm] $\sqrt{n}^2 [/mm] = n [mm] \in \IZ$. [/mm] Das die Darstellung eindeutig ist, dazu brauchst du tatsaechlich Eisenstein. Demnach ist naemlich das Polynom [mm] $X^2 [/mm] - n [mm] \in \IQ[x]$ [/mm] irreduzibel. Insbesondere sind also [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] und 1 linear unabhaengig ueber [mm] $\IQ$: [/mm] andernfalls liesse sich eine Relation $a [mm] \sqrt{n} [/mm] + b = 0$ finden mit $a, b [mm] \in \IQ$ [/mm] nicht beide 0, und dann waer $a X + b [mm] \in \IQ[x]$ [/mm] ein Polynom vom Grad $< 2$ mit [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] als Nullstelle.
Da [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] und $1$ linear unabhaengig ueber [mm] $\IQ$ [/mm] sind, ist die Darstellung $a + b [mm] \sqrt{n}$ [/mm] mit $a, b [mm] \in \IQ$ [/mm] eindeutig, und also auch fuer $a, b [mm] \in \IZ$.
[/mm]
LG Felix
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