Ideale < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei I Ideal vom Ring R
a) Durch Induktion definiere [mm] I^1=I [/mm] und [mm] I^{n+1}=II^n. [/mm] Zeige, dass für alle n [mm] \in \N I^n [/mm] ein Ideal von R ist und [mm] I^n [/mm] Teilmenge von I.
b) Zeige dass [mm] rad(I)=\{a\in R | exis. n \in \N mit a^n \in I \} [/mm] ein Ideal von R ist. |
Um zu zeigen, dass es sich um ein Ideal handelt muss ich ja praktisch zeigen, dass
1) 0 [mm] \in I^n [/mm] bzw [mm] \in [/mm] rad(I)
2) für a,b [mm] \in I^n [/mm] dann auch a-b [mm] \in I^n [/mm] bzw. [mm] \in [/mm] rad(I)
3) für r [mm] \in \R [/mm] und a [mm] \in I^n [/mm] bzw. [mm] \in [/mm] rad(I) ist auch ra [mm] \in I^n [/mm] bzw. [mm] \in [/mm] rad(I)
zu a) Kann ich das mit Induktion zeigen? für n=0 hätte ich ja gleich I raus, was nach Voraussetzung ein Ideal ist. Jetzt müsste ich ja eigentlich das ganze für n+1 beweisen....da komme ich aber nicht weiter....setzt man dann [mm] II^{n+1} [/mm] und muss zeigen, dass das I ^{n+2} ist? Und das das Teilmenge ist, dann nehme ich ja ein Element raus und zeige, dass es auch in [mm] \II [/mm] enthalten ist, oder?
zu b) Dass die Null da drinne liegt ist klar, denn sie liegt ja auch in R oder?
aber wie gehe ich weiter vor?
Lieben Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 So 06.11.2016 | | Autor: | hippias |
> Sei I Ideal vom Ring R
> a) Durch Induktion definiere [mm]I^1=I[/mm] und [mm]I^{n+1}=II^n.[/mm]
> Zeige, dass für alle n [mm]\in \N I^n[/mm] ein Ideal von R ist und
> [mm]I^n[/mm] Teilmenge von I.
> b) Zeige dass [mm]rad(I)=\{a\in R | exis. n \in \N mit a^n \in I \}[/mm]
> ein Ideal von R ist.
> Um zu zeigen, dass es sich um ein Ideal handelt muss ich
> ja praktisch
Praktisch?
> zeigen, dass
> 1) 0 [mm]\in I^n[/mm] bzw [mm]\in[/mm] rad(I)
> 2) für a,b [mm]\in I^n[/mm] dann auch a-b [mm]\in I^n[/mm] bzw. [mm]\in[/mm] rad(I)
> 3) für r [mm]\in \R[/mm] und a [mm]\in I^n[/mm] bzw. [mm]\in[/mm] rad(I) ist auch
> ra [mm]\in I^n[/mm] bzw. [mm]\in[/mm] rad(I)
>
> zu a) Kann ich das mit Induktion zeigen?
Ja.
> für n=0 hätte
> ich ja gleich I raus,
Nein...
> was nach Voraussetzung ein Ideal ist.
... vermutlich aber trotzdem richtig.
> Jetzt müsste ich ja eigentlich das ganze für n+1
> beweisen....da komme ich aber nicht weiter....setzt man
> dann [mm]II^{n+1}[/mm] und muss zeigen, dass das I ^{n+2} ist?
Meine Güte, das ist doch nicht zu verstehen! Schreibe bitte einmal kurz und klar auf, worin hier der Induktions besteht.
> Und
> das das Teilmenge ist, dann nehme ich ja ein Element raus
> und zeige, dass es auch in [mm]\II[/mm] enthalten ist, oder?
s.o.
>
> zu b) Dass die Null da drinne liegt ist klar, denn sie
> liegt ja auch in R oder?
> aber wie gehe ich weiter vor?
Du musst die selben Axiome wie im Teil a) nachrechnen. Fange am besten mit Axiom 1) und 3) an.
>
> Lieben Dank
>
|
|
|
|
