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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mi 03.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | | Es ist [mm](X^2,Y^2*X-Y^3, Y^4) = (X^2, Y^2*X-Y^3)[/mm] in [mm]\IC[X, Y ][/mm]. |
Es geht wieder um Ideale. Damit Gleichheit gilt muss ich noch zeigen:
[mm]\exists m,n\in\IC[X,Y]:Y^4=m*(X^2)+n*(Y^2*X-Y^3)[/mm]. Doch irgendwie mag das nicht gehen. Deswegen würde ich so argumentieren:
[mm]Y^2*X-Y^3\in\IC[X, Y ]\gdw Y^2*(X-Y)\in\IC[X, Y ]\gdw Y^2 \in\IC[X, Y ]\wedge (X-Y)\in\IC[X, Y ][/mm] Da der Ring bzgl. der Multiplikation abgeschlossen ist. (Stimmt das Argument?)
Damit ist wegen [mm]Y^2 \in\IC[X, Y ][/mm] auch [mm](Y^2)*(Y^2) \in\IC[X, Y ][/mm].
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mi 03.11.2010 | | Autor: | moudi |
> Es ist [mm](X^2,Y^2*X-Y^3, Y^4) = (X^2, Y^2*X-Y^3)[/mm] in [mm]\IC[X, Y ][/mm].
>
> Es geht wieder um Ideale. Damit Gleichheit gilt muss ich
> noch zeigen:
> [mm]\exists m,n\in\IC[X,Y]:Y^4=m*(X^2)+n*(Y^2*X-Y^3)[/mm]. Doch
> irgendwie mag das nicht gehen. Deswegen würde ich so
Die Polynome m und n zu finden ist nicht so schwierig. Ich habe sie ganz einfach gefunden.
Tipp: Um [mm] $y^4$ [/mm] zu erhalten musst du x eliminieren. Die naheliegendste Kombination ist es mit $n=?$ und $m=?$ zu versuchen. Andrerseits muss du auch [mm] $y^4$ [/mm] erhalten. Also muss $n$ auch noch den Term ? enthalten, und siehe da, es funktioniert.
> argumentieren:
> [mm]Y^2*X-Y^3\in\IC[X, Y ]\gdw Y^2*(X-Y)\in\IC[X, Y ]\gdw Y^2 \in\IC[X, Y ]\wedge (X-Y)\in\IC[X, Y ][/mm]
Ich verstehe nicht, was du hier zeigen willst, es geht doch um Ideale?
> Da der Ring bzgl. der Multiplikation abgeschlossen ist.
> (Stimmt das Argument?)
> Damit ist wegen [mm]Y^2 \in\IC[X, Y ][/mm] auch [mm](Y^2)*(Y^2) \in\IC[X, Y ][/mm].
>
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mi 03.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Stehe ich wirklich auf dem Schlauch?
Ich setze [mm]m:=0\,[/mm] und [mm]n:=\frac{Y^2}{X-Y}[/mm].
Wäre dann n in [mm]\IC[X,Y][/mm]? Für mich waren es bis jetzt nur "normale" Poylnome. Dann würde mein n nicht dazu zählen. Ich meine [mm]Y^2\in \IC[X,Y][/mm] hatte ich ja geschrieben. Aber [mm]\frac{1}{X-Y}\in \IC[X,Y][/mm] ist mir noch nicht ganz klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Mi 03.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Stehe ich wirklich auf dem Schlauch?
> Ich setze [mm]m:=0\,[/mm] und [mm]n:=\frac{Y^2}{X-Y}[/mm].
>
> Wäre dann n in [mm]\IC[X,Y][/mm]?
Nein, es liegt dann im Quotientenkoerper davon.
> Für mich waren es bis jetzt nur
> "normale" Poylnome. Dann würde mein n nicht dazu zählen.
Damit liegst du auch richtig.
Aber das hat Moudi auch nicht gemeint.
> Ich meine [mm]Y^2\in \IC[X,Y][/mm] hatte ich ja geschrieben. Aber
> [mm]\frac{1}{X-Y}\in \IC[X,Y][/mm] ist mir noch nicht ganz klar.
Das ist auch nicht der Fall.
Zurueck zum Problem. Du wilst [mm] $Y^4 [/mm] bekommen. Der hoechste Term (in Bezug auf $Y$) von [mm] $X^2$ [/mm] ist [mm] $X^2$, [/mm] der hoechste von [mm] $Y^2 [/mm] X - [mm] Y^3$ [/mm] ist [mm] $-Y^3$. [/mm] Wie musst du $m$ und $n$ waehlen, damit $m [mm] X^2 [/mm] + n [mm] (-Y^3) [/mm] = [mm] Y^4$ [/mm] ist?
Waehl sie mal entsprechend.
Und dann schau dir den Ausdruck $m [mm] X^2 [/mm] + n [mm] (Y^2 [/mm] X - [mm] Y^3)$ [/mm] an; das ist noch nicht ganz gleich [mm] $Y^4$. [/mm] Wie kannst du jetzt den Rest wegbekommen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mi 03.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
> [mm] (X^2,Y^2\cdot{}X-Y^3, Y^4) = (X^2, Y^2\cdot{}X-Y^3) [/mm] in [mm] \IC[X, Y ] [/mm].
Das heißt für mich folgende Element sind in [mm]\IC[X, Y ][/mm]
- Y
- X
- [mm]X^2[/mm]
- [mm]Y^2*X-Y^3[/mm]
z.z. [mm]Y^4\in (X^2, Y^2\cdot{}X-Y^3)[/mm]
ich mache das jetzt noch einmal von vorne:
Ich suche [mm] m,n\in\IC[X,Y]:Y^4=m\cdot{}(X^2)+n\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) [/mm]
> Der hoechste Term (in Bezug auf [mm]Y[/mm]) von [mm] [/mm][mm] X^2[/mm] [mm] [/mm] ist [mm] [/mm][mm] X^2[/mm] [mm], [/mm] der
Den Gedankengang kann ich nicht nachvollziehen. Warum suche ich die höchste Potenz? Oder ist das hier für den speziellen Fall nur nützlich.
> [mm]m* X^2 + n * (-Y^3) = Y^4 [/mm] ist?
setze m:=0 und n:=-Y
Dann ist
[mm]0\cdot{}(X^2)+(-Y)\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3)=-Y^3*X+Y^4=Y(Y^2*X-Y^3)[/mm]. Das wird wohl so gemeint sein. So sehe ich jetzt auch ein, falls es richtig ist.
Welche Schritte kann man systematisch machen, damit direkt darauf kommt. Bis jetzt habe ich nur hin und her gerechnet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Do 04.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > [mm](X^2,Y^2\cdot{}X-Y^3, Y^4) = (X^2, Y^2\cdot{}X-Y^3)[/mm] in
> [mm]\IC[X, Y ] [/mm].
> Das heißt für mich folgende Element sind in [mm]\IC[X, Y ][/mm]
> -
> Y
> - X
> - [mm]X^2[/mm]
> - [mm]Y^2*X-Y^3[/mm]
Ja, das sind Elemente aus [mm] $\IC[X, [/mm] Y]$.
> z.z. [mm]Y^4\in (X^2, Y^2\cdot{}X-Y^3)[/mm]
>
> ich mache das jetzt noch einmal von vorne:
> Ich suche
> [mm]m,n\in\IC[X,Y]:Y^4=m\cdot{}(X^2)+n\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3)[/mm]
>
> > Der hoechste Term (in Bezug auf [mm]Y[/mm]) von[mm][/mm][mm] X^2[/mm][mm][/mm] ist[mm][/mm][mm] X^2[/mm] [mm],[/mm] der
> Den Gedankengang kann ich nicht nachvollziehen. Warum suche
> ich die höchste Potenz? Oder ist das hier für den
> speziellen Fall nur nützlich.
Das ist halt ein Ansatz, der oft gute Ergebnisse liefert, wenn die Polynome nicht "schlecht gewaehlt" sind (anders gesagt: es funktioniert gut, wenn die Polynome eine Groebnerbasis bilden -- was hier der Fall ist; das braucht dir aber nix zu sagen).
Bei Polynomen im eindimensionalen machst du es doch genauso. Und bei der schriftlichen Division auch. Wenn du [mm] $X^5 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] = [mm] X^2 \cdot [/mm] f(x)$ schreiben willst und $f$ suchst, so faengst du mit der hoechstens Potenz von [mm] $X^5 [/mm] + [mm] X^3$ [/mm] und der hoechsten Potenz von [mm] $X^2$ [/mm] an und teilst die durcheinander, und bekommst [mm] $X^3$. [/mm] Also faengt $f(x)$ mit [mm] $X^3$ [/mm] an. Dann ziehst du ab, was du dadurch erhaelst, und machst weiter mit dem naechsten hoechsten Term.
> > [mm]m* X^2 + n * (-Y^3) = Y^4[/mm] ist?
> setze m:=0 und n:=-Y
>
> Dann ist
>
> [mm]0\cdot{}(X^2)+(-Y)\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3)=-Y^3*X+Y^4=Y(Y^2*X-Y^3)[/mm].
> Das wird wohl so gemeint sein. So sehe ich jetzt auch ein,
> falls es richtig ist.
Ja.
Jetzt machst du mit [mm] $-Y^3 [/mm] X$ weiter. Wie bekommst du das klein?
> Welche Schritte kann man systematisch machen, damit direkt
> darauf kommt. Bis jetzt habe ich nur hin und her
> gerechnet.
Ich hoffe das was ich oben geschrieben habe beantwortet die Frage ein wenig.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Do 04.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
> Moin!
>
> > > [mm](X^2,Y^2\cdot{}X-Y^3, Y^4) = (X^2, Y^2\cdot{}X-Y^3)[/mm] in
> > [mm]\IC[X, Y ] [/mm].
> > Das heißt für mich folgende Element sind in [mm]\IC[X, Y ][/mm]
> [mm] m,n\in\IC[X,Y]:Y^4=m\cdot{}(X^2)+n\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) [/mm]
> >
> [mm]0\cdot{}(X^2)+(-Y)\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3)=-Y^3*X+Y^4=Y(Y^2*X-Y^3)[/mm].
> > Das wird wohl so gemeint sein. So sehe ich jetzt auch ein,
> > falls es richtig ist.
>
> Ja.
>
> Jetzt machst du mit [mm]-Y^3 X[/mm] weiter. Wie bekommst du das
> klein?
[mm]-Y^3*X=m'\cdot{}(X^2)+n'\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) [/mm] ???
Ich sehe es absolut nicht. Wie ich es weiter zerkleinern soll. Überhaupt habe ich jetzt den Überblick verloren. Kannst es an die Aufgabe bitte einmal systematisch aufschreiben. Ich habe noch eine, die ich dann selber lösen würde. In der Vorlesung waren die Beispiel trivial mal da mit 3 multipliziert und hier 6-> fertig. Aber hier?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Do 04.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > [mm](X^2,Y^2\cdot{}X-Y^3, Y^4) = (X^2, Y^2\cdot{}X-Y^3)[/mm] in
> > > [mm]\IC[X, Y ] [/mm].
> > > Das heißt für mich folgende Element sind in [mm]\IC[X, Y ][/mm]
>
> > [mm]m,n\in\IC[X,Y]:Y^4=m\cdot{}(X^2)+n\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3)[/mm]
>
> > >
> >
> [mm]0\cdot{}(X^2)+(-Y)\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3)=-Y^3*X+Y^4=Y(Y^2*X-Y^3)[/mm].
> > > Das wird wohl so gemeint sein. So sehe ich jetzt auch ein,
> > > falls es richtig ist.
> >
> > Ja.
> >
> > Jetzt machst du mit [mm]-Y^3 X[/mm] weiter. Wie bekommst du das
> > klein?
> [mm]-Y^3*X=m'\cdot{}(X^2)+n'\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3)[/mm] ???
>
> Ich sehe es absolut nicht. Wie ich es weiter zerkleinern
> soll. Überhaupt habe ich jetzt den Überblick verloren.
> Kannst es an die Aufgabe bitte einmal systematisch
> aufschreiben. Ich habe noch eine, die ich dann selber
> lösen würde. In der Vorlesung waren die Beispiel trivial
> mal da mit 3 multipliziert und hier 6-> fertig. Aber hier?
Ok, noch ein Schritt.
Hier hast du den hoechsten Term [mm] $-Y^3 [/mm] X$.
* Der hoechste Term von [mm] $X^2$ [/mm] ist [mm] $X^2$.
[/mm]
* Der hoechste Term von [mm] $Y^2 [/mm] X - [mm] Y^3$ [/mm] ist [mm] $Y^3$.
[/mm]
* Also kannst du $m' = 0$ und $n' = -X$ nehmen.
Was beibt jetzt uebrig?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Do 04.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Wenn ich die Schritte ausführe
[mm]Y^4 = m\cdot{}(X^2)+n\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m=0 \wedge n=-Y[/mm]
[mm]-Y^3X = m'\cdot{}(X^2)+n'\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m'=0\wedge n'=X[/mm]
[mm]X^2Y^2= m''\cdot{}(X^2)+n''\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m''=1 \wedge n''=0[/mm]
[mm]Y^2\cdot{}X-Y^3= m'''\cdot{}(X^2)+n'''\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m'''=0 \wedge n'''=1[/mm]
fertig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Do 04.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wenn ich die Schritte ausführe
> [mm]Y^4 = m\cdot{}(X^2)+n\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m=0 \wedge n=-Y[/mm]
>
> [mm]-Y^3X = m'\cdot{}(X^2)+n'\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m'=0\wedge n'=X[/mm]
Soweit so gut.
> [mm]X^2Y^2= m''\cdot{}(X^2)+n''\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m''=1 \wedge n''=0[/mm]
Wieso nimmst du 1 und 0?! So bekommst du doch gar nicht den Term [mm] $X^2 Y^2$ [/mm] hin!
> [mm]Y^2\cdot{}X-Y^3= m'''\cdot{}(X^2)+n'''\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m'''=0 \wedge n'''=1[/mm]
Das macht jetzt fuer mich keinen Sinn mehr...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:47 Fr 05.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
> [mm] Y^4 = m\cdot{}(X^2)+n\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m=0 \wedge n=-Y [/mm]
> [mm] -Y^3X = m'\cdot{}(X^2)+n'\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m'=0\wedge n'=X [/mm]
> [mm] X^2Y^2= m''\cdot{}(X^2)+n''\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m''=1 \wedge n''=0 [/mm]
> [mm] Y^2\cdot{}X-Y^3= m'''\cdot{}(X^2)+n'''\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m'''=0 \wedge n'''=1 [/mm]
> Moin!
>
> > Wenn ich die Schritte ausführe
> > [mm]Y^4 = m\cdot{}(X^2)+n\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m=0 \wedge n=-Y[/mm]
>
> >
> > [mm]-Y^3X = m'\cdot{}(X^2)+n'\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m'=0\wedge n'=X[/mm]
>
> Soweit so gut.
Das war ja auch alles vorgesagt
>
> > [mm]X^2Y^2= m''\cdot{}(X^2)+n''\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m''=1 \wedge n''=0[/mm]
>
> Wieso nimmst du 1 und 0?! So bekommst du doch gar nicht den
> Term [mm]X^2 Y^2[/mm] hin!
[mm] X^2 [/mm] hat höchste Potenz [mm] X^2 [/mm] und [mm] Y^2 [/mm] kann ich nicht mehr darstellen, da mir [mm] Y^3 [/mm] im Weg steht.
Würde ich jetzt wieder [mm]m'':=0[/mm] und [mm]n'':=X[/mm] setzen käme ich doch schon wieder auf
[mm]Y^3*X^2-Y^3*X[/mm]
Das dreht sich im Kreis?.
>
> > [mm]Y^2\cdot{}X-Y^3= m'''\cdot{}(X^2)+n'''\cdot{}(Y^2\cdot{}X-Y^3) \Rightarrow m'''=0 \wedge n'''=1[/mm]
>
> Das macht jetzt fuer mich keinen Sinn mehr...
>
> LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Fr 05.11.2010 | | Autor: | moudi |
Vielleicht muss ich es vorrechnen damit du es siehst.
Ich probiere mit [mm] $m=Y^2$ [/mm] und $n=-X$, so habe ich den Term [mm] $X^2$ [/mm] eliminiert: [mm] $Y^2\cdot X^2+(-X)(XY^2-Y^3)=XY^3$. [/mm] Ich sollte aber [mm] $Y^4$ [/mm] erhalten. Daher muss ich den Term [mm] $XY^3$ [/mm] auch eliminieren. Deshalb ersetze ich $n=-X$ durch $n=-X-Y$ und ich erhalte
[mm] $Y^2\cdot X^2+(-X-Y)(XY^2-Y^3)=Y^4$.
[/mm]
mfG Moudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Fr 05.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]X^2[/mm] hat höchste Potenz [mm]X^2[/mm] und [mm]Y^2[/mm] kann ich nicht mehr
> darstellen, da mir [mm]Y^3[/mm] im Weg steht.
Nun, multiplizier doch [mm] $X^2$ [/mm] mit dem Element [mm] $Y^2$ [/mm] des Ringes. Dann steht da [mm] $X^2 Y^2$ [/mm] -- genau das was du brauchst!
LG Felix
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