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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Do 09.02.2012 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | Sei [mm] I:=(y-x^2) [/mm] ein Hauptideal im Polynomring [mm] A:=\IC[x,y].
[/mm]
i) Zeigen Sie dass I ein Primideal ist, aber kein Hauptideal ist.
ii) Bestimmen Sie alle maximalen Ideale in A welche I enthalten. |
Hallo zusammen,
Teil i)
Um zu zeigen dass I kein maximales Ideal ist reicht es ja zu zeigen, dass ein Ideal [mm] J\subsetneq [/mm] A existiert mit [mm] I\subsetneq [/mm] J. Ein solches Ideal müsste ja (x,y) sein. Und es ist ein Primideal, da [mm] y-x^2 [/mm] ein irreduzibles Element in A ist und A ein faktorieller Ring ist.
Teil ii)
(x,y) ist ja ein maximales Ideal. Denn A/(x,y) [mm] \cong A/(y)\Big/(x,y)/(x) [/mm] laut dem dritten Isomorphiesatz, und A/(y) ist ein Integritätsbereich da (y) ein Primideal ist in A. Außerdem ist A/(y) [mm] \cong \IC[x], [/mm] und [mm] \IC[x]/(x) \cong \IC [/mm] - ein Körper. Ist dies so richtig? (x,y) ist auch das einzige maximale Ideal welches ich sehe. Wenn das stimmt, wie kann man zeigen dass es sonst keine mehr gibt?
Ich freue mich auf Eure Antworten.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Do 09.02.2012 | | Autor: | hippias |
Die Vermutung ist nicht ganz korrekt: die Erzeugenden koennen auch $r+x, s+y$, [mm] $r,s\in \IC$ [/mm] sein. Ich wuerde etwa so argumentieren: Zeige zuerst, dass auch die von diesen Elementen erzeugten Ideale maximal sind. Fuer die Umkehrung sei $M$ max Ideal. Dann ist $A/M$ eine Koerpererweiterung von [mm] $\IC$. [/mm] Sie ist algebraisch, denn es gibt da einen schoenen Satz über endlich erzeugte Algebren, die gleichzeitig Koerper sind...
Jedenfalls: Nun folgt $A= [mm] \IC+ [/mm] M$ - denn [mm] $1\not\in [/mm] M$ - d.h. $x= r+f$, $y= s+g$, wobei [mm] $r,s\in \IC$ [/mm] und [mm] $f,g\in [/mm] M$. Nun mache Dir klar, dass $M$ also eines der obigen maximalen Ideale enthaelt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 09.02.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Hippias,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe nun ein wenig länger über sie nachgedacht, und einiges ist mir nun bereits klarer geworden.
Es gibt aber noch immer einige offene Fragen.
> Die Vermutung ist nicht ganz korrekt: die Erzeugenden
> koennen auch [mm]r+x, s+y[/mm], [mm]r,s\in \IC[/mm] sein. Ich wuerde etwa so
> argumentieren: Zeige zuerst, dass auch die von diesen
> Elementen erzeugten Ideale maximal sind.
Kann man hier analog argumentieren wie ich oben für (x,y)?
Insbesondere bei den Isomorphismen bin ich mir unsicher, z.B. ist [mm] A/(s+y)\cong \IC[x], s\in \IC?
[/mm]
> Fuer die Umkehrung
> sei [mm]M[/mm] max Ideal. Dann ist [mm]A/M[/mm] eine Koerpererweiterung von
> [mm]\IC[/mm]. Sie ist algebraisch, denn es gibt da einen schoenen
> Satz über endlich erzeugte Algebren, die gleichzeitig
> Koerper sind...
> Jedenfalls: Nun folgt [mm]A= \IC+ M[/mm] - denn [mm]1\not\in M[/mm] -
Wie folgt das denn genau? Ich sehe das leider noch nicht.
> d.h. [mm]x= r+f[/mm], [mm]y= s+g[/mm], wobei [mm]r,s\in \IC[/mm] und [mm]f,g\in M[/mm]. Nun mache
> Dir klar, dass [mm]M[/mm] also eines der obigen maximalen Ideale
> enthaelt.
Dies konnte ich mir leider auch noch nicht klar machen...
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Do 09.02.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo Hippias,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
> Ich habe nun ein wenig länger über sie nachgedacht, und
> einiges ist mir nun bereits klarer geworden.
> Es gibt aber noch immer einige offene Fragen.
>
> > Die Vermutung ist nicht ganz korrekt: die Erzeugenden
> > koennen auch [mm]r+x, s+y[/mm], [mm]r,s\in \IC[/mm] sein. Ich wuerde etwa so
> > argumentieren: Zeige zuerst, dass auch die von diesen
> > Elementen erzeugten Ideale maximal sind.
>
> Kann man hier analog argumentieren wie ich oben für
> (x,y)?
> Insbesondere bei den Isomorphismen bin ich mir unsicher,
> z.B. ist [mm]A/(s+y)\cong \IC[x], s\in \IC?[/mm]
>
Ja, schon. Aber was mir noch eingefallen ist, ist dies: Wenn Du den Hilbertschen Nullstellensatz kennst, dann weiss man ja sowieso, dass die maximalen Ideale genau die Verschwindungsideale von Punkten aus [mm] $\IC^{2}$ [/mm] sind. Es ist z.B. $(x,y)= I(0,0)$.
> > Fuer die Umkehrung
> > sei [mm]M[/mm] max Ideal. Dann ist [mm]A/M[/mm] eine Koerpererweiterung von
> > [mm]\IC[/mm]. Sie ist algebraisch, denn es gibt da einen schoenen
> > Satz über endlich erzeugte Algebren, die gleichzeitig
> > Koerper sind...
> > Jedenfalls: Nun folgt [mm]A= \IC+ M[/mm] - denn [mm]1\not\in M[/mm] -
>
> Wie folgt das denn genau? Ich sehe das leider noch nicht.
Was meinst Du, den besagten Satz oder $A= [mm] \IC+ [/mm] M$? Die Gleichung ergibt sich so: $A/M$ ist algebraische Erweiterung [mm] $\IC$. [/mm] Damit ist [mm] $\dim_{\IC} [/mm] A/M= 1$. Wegen [mm] $1\not\in [/mm] M$ ist $1+M$ [mm] $\IC$-Basis [/mm] von $A/M$, also $A= [mm] \IC\cdot [/mm] 1+ M$.
>
> > d.h. [mm]x= r+f[/mm], [mm]y= s+g[/mm], wobei [mm]r,s\in \IC[/mm] und [mm]f,g\in M[/mm]. Nun
> mache
> > Dir klar, dass [mm]M[/mm] also eines der obigen maximalen Ideale
> > enthaelt.
>
> Dies konnte ich mir leider auch noch nicht klar machen...
Wenn man $x= r+f$, $y= s+g$ aus der obigen Ueberlegung geschlussfolgert hat, dann sind $x-r= f, y-s= [mm] g\in [/mm] M$. Damit enthaelt $M$ das maximale Ideal $A(x-r)+A(y-s)$.
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Hippias,
vielen Dank für deine Antwort.
Insbesondere die Idee mit Hilbert's Nullstellensatz ist natürlich sehr schön.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 18.03.2012 | | Autor: | Vilietha |
Ich habe noch ein wenig über die Aufgabe nachgedacht.
Mir scheint es, als ob gar nicht alle Ideale der Form [mm] $(r+x,s+y),r,s\in \IC [/mm] $ maximale Ideale sind welche [mm] I=(x-y^2) [/mm] enthalten. Denn die algebraische Varietät von I, Z(I), müsste die Menge der Punkte in [mm] A=\IC[x,y] [/mm] sein welche [mm] x=y^2 [/mm] erfüllen, also eine (gedrehte) Parabel. Und mit Hilbert's Nullstellensatz (schwache Form) müsste folgen, dass nur für Punkte [mm] P\in \IC[x,y] [/mm] welche auf dieser Parabel liegen gilt: [mm] I(P)\supseteq [/mm] I, wobei I(P) das Ideal zu P ist.
Ist dies so richtig?
Ich freue mich auf Eure Antworten.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 18.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Vilietha,
> Mir scheint es, als ob gar nicht alle Ideale der Form
> [mm](r+x,s+y),r,s\in \IC[/mm] maximale Ideale sind welche [mm]I=(x-y^2)[/mm]
> enthalten.
genau!
> Denn die algebraische Varietät von I, Z(I),
> müsste die Menge der Punkte in [mm]A=\IC[x,y][/mm] sein welche
> [mm]x=y^2[/mm] erfüllen, also eine (gedrehte) Parabel. Und mit
> Hilbert's Nullstellensatz (schwache Form) müsste folgen,
> dass nur für Punkte [mm]P\in \IC[x,y][/mm] welche auf dieser
> Parabel liegen gilt: [mm]I(P)\supseteq[/mm] I, wobei I(P) das Ideal
> zu P ist.
>
> Ist dies so richtig?
Ja.
Ueber einem algebraisch abgeschlossenen Koerper gilt allgemein: sind $I$ und $J$ Ideale, so gilt [mm] $\sqrt{I} \subseteq \sqrt{J}$ [/mm] genau dann, wenn $V(J) [mm] \subseteq [/mm] V(I)$ gilt.
(Dazu brauchst du den Nullstellensatz.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Mo 19.03.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Felix,
auch für diese Antwort vielen Dank! 
Viele Grüße,
Vilietha
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