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| Aufgabe | | Bestimmen Sie für die Ringe [mm] R_1=\mathbb{Z}/105\mathbb{Z} [/mm] und [mm] R_{2}=\mathbb{Q}[X]/(X-1)(X-2)(X-3) [/mm] die Anzahl ihrer Ideale und geben Sie die maximalen und primen Ideale an. |
Hallo,
ich mache das mal beispielhaft für den ersten Ring.
Es gilt [mm] R_{1}^{\times}=\{\overline{a}\in R_{1}|ggT(a,105)=1\} [/mm] was man leicht sieht. Also erhält man als echte Ideale alle Teiler von 105 größer 1, besser gesagt:
[mm] 3\mathbb{Z}/105\mathbb{Z},5\mathbb{Z}/105\mathbb{Z},...,35\mathbb{Z}/105\mathbb{Z} [/mm] und natürlich 0 und [mm] R_{1}.
[/mm]
Die Primideale und die maximalen Ideale sind gerade die Primteiler von 105, damit meine ich also [mm] 3\mathbb{Z}/105\mathbb{Z},5\mathbb{Z}/105\mathbb{Z},7\mathbb{Z}/105\mathbb{Z}. [/mm] Es sollte [mm] R_{1} [/mm] kommutativ sein und ein Ring mit 1, deshalb reicht es zu zeigen, dass die Ideale maximal sind, damit sind sie auch prim. Da liegt mir jetzt ein komischer Beweis vor:
Komisch deshalb, weil die Restklassenstruktur irgendwie nicht beachtet wird. Sei I ein Ideal von [mm] \mathbb{Z}=R [/mm] mit [mm] (3)\subseteq I\subseteq [/mm] R. Sei [mm] a\in [/mm] I aber [mm] a\notin(3). [/mm] Dann gilt [mm] ggT(a,3)=1\Rightarrow1\in [/mm] I. Folgt daraus denn nun dann auch, dass [mm] \overline{1}\in I\mathbb{Z}/105\mathbb{Z}? [/mm] Dann wäre es klar. Oder darf man es garnicht so machen?
Meine Idee wäre hier gewesen zu zeigen, dass [mm] (\mathbb{Z}/105\mathbb{Z})/(3\mathbb{Z}/105\mathbb{Z}) [/mm] isomorph ist zu [mm] \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} [/mm] und damit wäre es klar. Dafür bräuchte ich dann nur einen Ringepimorphismus zwischen [mm] \mathbb{Z}/105\mathbb{Z} [/mm] und [mm] \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}mit [/mm] Kern [mm] =(3\mathbb{Z}/105\mathbb{Z}). [/mm] Da ist mir jetzt noch keiner eingefallen.
Mit dem [mm] R_{2} [/mm] geht das ja analog (sollte ja auch kommutativ sein und 1 enthalten), wobei mir da auch wieder zur Maximalität ein solcher Beweis wie mit [mm] (3)\subseteq I\subseteq [/mm] R vorliegt. Darf man das denn so machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:55 Sa 18.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimmen Sie für die Ringe [mm]R_1=\mathbb{Z}/105\mathbb{Z}[/mm]
> und [mm]R_{2}=\mathbb{Q}[X]/(X-1)(X-2)(X-3)[/mm] die Anzahl ihrer
> Ideale und geben Sie die maximalen und primen Ideale an.
>
> Hallo,
>
> ich mache das mal beispielhaft für den ersten Ring.
>
> Es gilt [mm]R_{1}^{\times}=\{\overline{a}\in R_{1}|ggT(a,105)=1\}[/mm]
> was man leicht sieht. Also erhält man als echte Ideale
> alle Teiler von 105 größer 1, besser gesagt:
>
> [mm]3\mathbb{Z}/105\mathbb{Z},5\mathbb{Z}/105\mathbb{Z},...,35\mathbb{Z}/105\mathbb{Z}[/mm]
> und natürlich 0 und [mm]R_{1}.[/mm]
>
> Die Primideale und die maximalen Ideale sind gerade die
> Primteiler von 105, damit meine ich also
> [mm]3\mathbb{Z}/105\mathbb{Z},5\mathbb{Z}/105\mathbb{Z},7\mathbb{Z}/105\mathbb{Z}.[/mm]
> Es sollte [mm]R_{1}[/mm] kommutativ sein und ein Ring mit 1, deshalb
> reicht es zu zeigen, dass die Ideale maximal sind, damit
> sind sie auch prim.
Ja.
Das bekommst du recht automatisch alles mit der hier erwaehnten Bijektion hin. (Diese Bijektion erhaelt die Eigenschaften "maximal" und "prim".)
> Da liegt mir jetzt ein komischer Beweis
> vor:
>
> Komisch deshalb, weil die Restklassenstruktur irgendwie
> nicht beachtet wird.
>
> Sei I ein Ideal von [mm]\mathbb{Z}=R[/mm] mit
> [mm](3)\subseteq I\subseteq[/mm] R. Sei [mm]a\in[/mm] I aber [mm]a\notin(3).[/mm] Dann
> gilt [mm]ggT(a,3)=1\Rightarrow1\in[/mm] I.
Daraus folgt, dass $(3)$ ein maximales Ideal in [mm] $\IZ$ [/mm] ist. Somit ist $(3) / (105)$ wegen der Bijektion auch ein maximales Ideal in $R$.
> Folgt daraus denn nun
> dann auch, dass [mm]\overline{1}\in I\mathbb{Z}/105\mathbb{Z}?[/mm]
> Dann wäre es klar. Oder darf man es garnicht so machen?
Ja, das folgt daraus. Da $1$ in $I$ liegt, liegt doch per Definition $1 + (105)$ in $I / (105)$!
> Meine Idee wäre hier gewesen zu zeigen, dass
> [mm](\mathbb{Z}/105\mathbb{Z})/(3\mathbb{Z}/105\mathbb{Z})[/mm]
> isomorph ist zu [mm]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/mm] und damit wäre es
> klar. Dafür bräuchte ich dann nur einen Ringepimorphismus
> zwischen [mm]\mathbb{Z}/105\mathbb{Z}[/mm] und
> [mm]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}mit[/mm] Kern
> [mm]=(3\mathbb{Z}/105\mathbb{Z}).[/mm] Da ist mir jetzt noch keiner
> eingefallen.
Bequeme doch einen der Isomorphiesaetze.
Oder nimm einfach [mm] $\IZ [/mm] / (105) [mm] \to \IZ [/mm] / (3)$, $x + (105) [mm] \mapsto [/mm] x + (3)$. Dieser hat den Kern $(105) / (3)$ wie man einfach nachrechnet, und ist surjektiv.
> Mit dem [mm]R_{2}[/mm] geht das ja analog (sollte ja auch kommutativ
> sein und 1 enthalten), wobei mir da auch wieder zur
> Maximalität ein solcher Beweis wie mit [mm](3)\subseteq I\subseteq[/mm]
> R vorliegt. Darf man das denn so machen?
Zeige doch allgemein: ist $R$ ein Ring, $I$ ein Ideal in $R$ und ist $J$ ein Ideal in $R$ mit $I [mm] \subseteq [/mm] J$, so gilt:
a) $J$ ist genau dann maximal, wenn $J / I$ in $R / I$ maximal ist;
b) $J$ ist genau dann prim, wenn $J / I$ in $R / I$ prim ist.
Daraus folgt sofort alles was du brauchst.
Edit: Fehler korrigiert.
LG Felix
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> Zeige doch allgemein: ist [mm]R[/mm] ein Ring, [mm]I[/mm] ein Ideal in [mm]R[/mm] und
> ist [mm]J[/mm] ein Ideal in [mm]R[/mm] mit [mm]J \subseteq I[/mm], so gilt:
>
> a) [mm]J[/mm] ist genau dann maximal, wenn [mm]J / I[/mm] in [mm]R / I[/mm] maximal
> ist;
> b) [mm]J[/mm] ist genau dann prim, wenn [mm]J / I[/mm] in [mm]R / I[/mm] prim ist.
>
> Daraus folgt sofort alles was du brauchst.
>
> LG Felix
>
Gilt denn der zweite Isomorphiesatz: [mm] (G/N)/(N/I)\simeq [/mm] G/I mit G ist eine Gruppe, H ein Normalteiler und I eine Untergruppe von I auch als Übertragung für Ringe, wenn man Gruppe durch Ring ersetzt und Normalteiler durch Ideal? Ich weiß dass der Homomorphiesatz auf Ringe übertragen werden kann, und der Isomorphiesatz ist ja eigentlich nur eine Folge davon.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Do 23.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Zeige doch allgemein: ist [mm]R[/mm] ein Ring, [mm]I[/mm] ein Ideal in [mm]R[/mm] und
> > ist [mm]J[/mm] ein Ideal in [mm]R[/mm] mit [mm]J \subseteq I[/mm], so gilt:
> >
> > a) [mm]J[/mm] ist genau dann maximal, wenn [mm]J / I[/mm] in [mm]R / I[/mm] maximal
> > ist;
> > b) [mm]J[/mm] ist genau dann prim, wenn [mm]J / I[/mm] in [mm]R / I[/mm] prim
> ist.
> >
> > Daraus folgt sofort alles was du brauchst.
> >
> > LG Felix
> >
> Gilt denn der zweite Isomorphiesatz: [mm](G/N)/(N/I)\simeq[/mm] G/I
> mit G ist eine Gruppe, H ein Normalteiler und I eine
> Untergruppe von I auch als Übertragung für Ringe, wenn
> man Gruppe durch Ring ersetzt und Normalteiler durch Ideal?
Ja.
> Ich weiß dass der Homomorphiesatz auf Ringe übertragen
> werden kann, und der Isomorphiesatz ist ja eigentlich nur
> eine Folge davon.
Genau. Der Beweis ist auch absolut identisch. (Allgemein: der Homomorphiesatz und die Isomorphiesaetze gelten fuer eine ganze Menge von algebraischen Strukturen. Dazu gibt es eine "Metatheorie", die ![[]](/images/popup.gif) universelle Algebra.)
LG Felix
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> Moin!
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> > > Zeige doch allgemein: ist [mm]R[/mm] ein Ring, [mm]I[/mm] ein Ideal in [mm]R[/mm] und
> > > ist [mm]J[/mm] ein Ideal in [mm]R[/mm] mit [mm]J \subseteq I[/mm], so gilt:
> > >
> > > a) [mm]J[/mm] ist genau dann maximal, wenn [mm]J / I[/mm] in [mm]R / I[/mm] maximal
> > > ist;
> > > b) [mm]J[/mm] ist genau dann prim, wenn [mm]J / I[/mm] in [mm]R / I[/mm] prim
> > ist.
> > >
> > > Daraus folgt sofort alles was du brauchst.
> > >
> > > LG Felix
Nochmal kurz zu dem Satz da oben. Da müsste doch aber [mm] I\subseteq [/mm] J sein und nicht umgekehrt oder? Schließlich ist [mm] 3\mathbb{Z}/315\mathbb{Z} [/mm] maximal in [mm] \mathbb{Z}/315\mathbb{Z}, [/mm] aber [mm] (315)\subseteq [/mm] (3) und nicht umgekehrt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Fr 24.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > Zeige doch allgemein: ist [mm]R[/mm] ein Ring, [mm]I[/mm] ein Ideal in [mm]R[/mm] und
> > > > ist [mm]J[/mm] ein Ideal in [mm]R[/mm] mit [mm]J \subseteq I[/mm], so gilt:
> > > >
> > > > a) [mm]J[/mm] ist genau dann maximal, wenn [mm]J / I[/mm] in [mm]R / I[/mm] maximal
> > > > ist;
> > > > b) [mm]J[/mm] ist genau dann prim, wenn [mm]J / I[/mm] in [mm]R / I[/mm]
> prim
> > > ist.
> > > >
> > > > Daraus folgt sofort alles was du brauchst.
> > > >
> > > > LG Felix
>
> Nochmal kurz zu dem Satz da oben. Da müsste doch aber
> [mm]I\subseteq[/mm] J sein und nicht umgekehrt oder? Schließlich
> ist [mm]3\mathbb{Z}/315\mathbb{Z}[/mm] maximal in
> [mm]\mathbb{Z}/315\mathbb{Z},[/mm] aber [mm](315)\subseteq[/mm] (3) und nicht
> umgekehrt.
Aeh, ja, genau so war es auch gemeint! Ich hatte mich da verschrieben...
LG Felix
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