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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Di 02.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Hallo zusammen,
Meine Frage:
Zu Berechnen sind folgende Ideal in Z, indem man ein erzeugendes Element angibt: 1) (4) + (6) und 2) (2) [mm] \cap [/mm] (3)
Meine Idee:
Wissen dass die ganzen Zahlen einen Hauptidealring bilden also gilt auch das 1 und 2 von einem Element erzeugt werden. Nun sind Elemente aus (4) ja ganze Zahlen die durch 4 also insbesondere durch 2 teilbar sind und aus (6) ganze Zahlen die durch 6 also insbesondere durch 3 teilbar sind. Wird dann (4) von 2 und (6) von 3 erzeugt und (4), (6) von 3?
jacob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Di 02.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Meine Frage:
> Zu Berechnen sind folgende Ideal in Z, indem man ein
> erzeugendes Element angibt: 1) (4) + (6) und 2) (2) [mm]\cap[/mm]
> (3)
> Meine Idee:
> Wissen dass die ganzen Zahlen einen Hauptidealring bilden
> also gilt auch das 1 und 2 von einem Element erzeugt
> werden. Nun sind Elemente aus (4) ja ganze Zahlen die durch
> 4 also insbesondere durch 2 teilbar sind und aus (6) ganze
> Zahlen die durch 6 also insbesondere durch 3 teilbar sind.
> Wird dann (4) von 2 und (6) von 3 erzeugt und (4), (6) von
> 3?
Hier geht noch einiges durcheinander. (4) sind genau die ganzen Zahlen, die durch 4 teilbar sind. Die Schreibweise sagt schon, daß (4) von 4 erzeugt wird. Und (6) dann natürlich von 6. Was bedeutet jetzt (4)+(6)? Da liegen alle Linearkombinationen drin. Also muß dieses Ideal insbesondere größer sein (mehr Elemente haben) als (4) und als (6). Und das erzeugende Element selbst muß natürlich auch als Linearkombination 4r + 6s darstellbar sein. Was käme da in Frage?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Di 02.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Spontan würde ich 10 sagen, indem man für r und s 1 setzt. Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mi 03.11.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Spontan würde ich 10 sagen, indem man für r und s 1
> setzt. Stimmt das?
Gottogott nee. Es ist zwar 10 [mm] \in [/mm] (4)+(6), klar, weil man ja r = s = 1 setzen kann, aber es ist auch (10) [mm] \not= [/mm] (4)+(6), weil z. B. 4 [mm] \notin [/mm] (10); (10) besteht doch gerade aus den Vielfachen von 10.
Also weiter nachdenken.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mi 03.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Gibt es da irgendeine Systematik wie man bei sowas vorgehen kann?
Vielleicht ist es sinnvoll mal die Elemente von (4) + (6) hinzuschreiben. Wären das dann z.B 10, 14,16,22,28,14,20,26.....? Hierzu würde mir jetzt einfallen, dass diese alle durch 2 teilbar sind somit das erzeugende Element 2 wäre. Was jedoch nicht stimmen kann da 2 dann auch Linearkombination von (4) und (6) sein müsste was ja nicht der Fall ist, oder? Wie wären dann eigentlich die Elemente des Schnittes (4) [mm] \cap [/mm] (6) definiert? Wie kann man diese angeben?
jacob
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Do 04.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Gibt es da irgendeine Systematik wie man bei sowas vorgehen
> kann?
Ja, die gibt es. Das hängt mit kgV und ggT zusammen.
> Vielleicht ist es sinnvoll mal die Elemente von (4) + (6)
> hinzuschreiben. Wären das dann z.B 10,
> 14,16,22,28,14,20,26.....? Hierzu würde mir jetzt
> einfallen, dass diese alle durch 2 teilbar sind somit das
> erzeugende Element 2 wäre. Was jedoch nicht stimmen kann
> da 2 dann auch Linearkombination von (4) und (6) sein
> müsste was ja nicht der Fall ist, oder?
Ist nicht 2 = (-1)*4 + 1*6?
> Wie wären dann
> eigentlich die Elemente des Schnittes (4) [mm]\cap[/mm] (6)
> definiert? Wie kann man diese angeben?
Nun, die müssen in (4) liegen, also Vielfache von 4 sein und ebenso von 6.
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Do 04.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Also ist 2Z das erzeugende Element von (4) +(6)? Aber wenn man sich die Elemente von (4) [mm] \cap [/mm] (6) betrachtet müsste 2 auch dieses Ideal erzeugen, oder?
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Hallo jacob17,
> Also ist 2Z das erzeugende Element von (4) +(6)? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, [mm](4)+(6)=(\operatorname{ggT}(4,6))[/mm]
> Aber wenn
> man sich die Elemente von (4) [mm]\cap[/mm] (6) betrachtet müsste
> 2 auch dieses Ideal erzeugen, oder?
Nein, dann wäre ja insbesondere [mm]4[/mm] im Schnitt der beiden Ideale, aber [mm]4\notin (6)[/mm]
Schreibe dir doch mal die ersten 10 Elemente beider Ideale untereinander und schaue, welche Elemente in beiden Idealen liegen...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Do 04.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Naja Elemente aus (4) [mm] \cap [/mm] (6) sind doch z.B
12, 24, 36, 48, 60.... Demzufolge käme als erzeugendes Element 12 in Frage?
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Hallo nochmal,
> Naja Elemente aus (4) [mm]\cap[/mm] (6) sind doch z.B
> 4,6,8,12,16,20,24,28,30,32,36...
Nenenene: du betrachtest doch den Schnitt der beiden Ideale, also alle Elemente, die sowohl in [mm](4)[/mm] als auch in [mm](6)[/mm] liegen:
[mm](4)=\{...,4,8,\red{12},16,20,\red{24},28,32,\red{36},...\}[/mm]
[mm](6)=\{...,6,\red{12},18,\red{24},30,\red{36},...\}[/mm]
Also [mm](4)\cap(6)=\{...,12,24,36,...\}[/mm]
Was ist also erzeugend?
> Als erzeugendes Element
> kommen jetzt doch nur 1 und 2 in Frage da 4 z.B nicht durch
> 3; 6 nicht durch 4; und natürlich auch nicht durch 5 und
> alle Zahlen größer als 6 teilbar ist. 4 ist auch nicht
> durch 6 teilbar. Aber 1 kann doch kein erzeugendes Element
> sein?
Nein 1 erzeugt ganz [mm]\IZ[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Do 04.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Also ist 12 erzeugendes Element :)
Wie wäre es bei (2) + (3)?
Dieses Ideal besteht ja aus z.B aus
5,7,8,11,14,15,20.... Hier sieht man jetzt nicht wirklich von welchem Element dieses erzeugt wird. Wie kriegt man hier raus was für ein gemeinsames Vielfaches alle Elemente haben?
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Hallo,
> Also ist 12 erzeugendes Element :)
> Wie wäre es bei (2) + (3)?
> Dieses Ideal besteht ja aus z.B aus
> 5,7,8,11,14,15,20.... Hier sieht man jetzt nicht wirklich
> von welchem Element dieses erzeugt wird. Wie kriegt man
> hier raus was für ein gemeinsames Vielfaches alle Elemente
> haben?
Oben habe wir doch festgestellt, dass die Summe zweier Ideale in [mm]\IZ[/mm] vom [mm]\operatorname{ggT}[/mm] der beiden Erzeuger erzeugt wird.
Wenn du die Summe zweier Ideale, die von teilerfremden Idealen erzeugt wird, hast (so wie im Bsp.), dann wird es doch von 1 erzeugt, also [mm](2)+(3)=(1)=\IZ[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Do 04.11.2010 | | Autor: | jacob17 |
Stimmt. Denn 11, 17 und 5 haben ja nur den gemeinsamen Teiler 1. Ich glaub' dass ich es jetzt verstanden habe. Vielen Dank für eure Antworten.
jacob
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