Ideale und Restklassenringe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Lemma |
Hallo,
Leider versteh ich die folgende Aufgabe überhaupt nicht:
"Bestimme die Ideale (5) und [mm] (\wurzel{5}) [/mm] in [mm] \IZ[\wurzel{5}] [/mm] sowie die zugehörigen Restklassenringe."
Also die Ideale von Ring R sind z.b. 0, R und auch [mm] 5\IZ [/mm] oder [mm] \wurzel{5}\IZ [/mm] und noch etliche andere.. oder?
Oder hab ich da was falsch verstanden?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Di 08.03.2005 | | Autor: | felixs |
morgen.
> "Bestimme die Ideale (5) und [mm](\wurzel{5})[/mm] in
> [mm]\IZ[\wurzel{5}][/mm] sowie die zugehörigen Restklassenringe."
zunaechst kannst du [mm] $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ [/mm] als [mm] $\{a+b\sqrt{5} | a,b \in \mathbb{Z}\}$ [/mm] darstellen.
damit sind die ideale einfach
[mm] $I_1=5 \mathbb{Z}[\sqrt{5}] [/mm] = [mm] \{5(a+b\sqrt{5}) | a,b \in \mathbb{Z}\}$
[/mm]
und
[mm] $I_2=\sqrt{5} \mathbb{Z}[\sqrt{5}] [/mm] = [mm] \{\sqrt{5}(a+b\sqrt{5}) | a,b \in \mathbb{Z}\}$
[/mm]
$= [mm] \{(5a+b) | a,b \in \mathbb{Z}\} [/mm] = [mm] \mathbb{Z}$
[/mm]
die restklassenringe sind dann die aequivalenzklassen in [mm] $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ [/mm] mit den relationen
$ x [mm] \sim_{I_i} [/mm] y [mm] \gdw \exists [/mm] a [mm] \in I_i: [/mm] x+a=y $.
bei [mm] $I_1$ [/mm] sieht das verdaechtig nach [mm] $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ [/mm] aus (moeglicherweise falsch)
fuer [mm] $I_2$ [/mm] ist das [mm] $\sqrt{5}\cdot \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}$.
[/mm]
> Also die Ideale von Ring R sind z.b. 0, R und auch [mm]5\IZ[/mm]
> oder [mm]\wurzel{5}\IZ[/mm] und noch etliche andere.. oder?
$0$, das 'nullideal', und $R$ sind die beiden trivialen ideale. die gibs in jedem ring. haengt aber ein wenig davon ab wie man ideal definiert. ich glaube es gibt auch eine idealdefinition die $R$ nicht zulaesst (?).
was ist ring $R$? falls du [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] meinst: die ideale von $R$ sind immer ein element aus $R$ mit ganz $R$ multipliziert. also insbesondere nicht [mm] $\sqrt{5}\mathbb{Z}$.
[/mm]
> Oder hab ich da was falsch verstanden?
denke eigentlich nicht.
gruss
--felix
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