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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Fr 17.08.2007 | | Autor: | setine |
| Aufgabe | | [mm] $$\int{\frac{1}{x^2+x+1}dx}$$ [/mm] |
Nach langem pröbeln hab ich das Integral lösen können (siehe unten). Gibt es einen besseren/schnelleren Weg? Vielleicht irgendetwas mit einer trig. Substitution? Wie würded ihr dieses Integral anpacken?
$$
[mm] \int{\frac{1}{x^2+x+1}dx} [/mm] = [mm] \int{\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx} [/mm] = [mm] \\
[/mm]
[mm] \int{\frac{1}{u^2+\frac{3}{4}}du} [/mm] =
[mm] \frac{4}{3}\int{\frac{1}{\frac{4}{3}u^2+1}du} [/mm] = [mm] \\
[/mm]
[mm] \frac{2}{\sqrt{3}}\int{\frac{1}{v^2+1}dv} [/mm] =
[mm] \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{v}+c= \\
[/mm]
[mm] \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{(\frac{2}{\sqrt{3}}u)}+c=
[/mm]
[mm] \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{(\frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2}))}+c
[/mm]
$$
2 Subst:
[mm] $u=x+\frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $v=\frac{2}{\sqrt{3}}u$
[/mm]
Vielen Dank,
Setine
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Hallo Setine!
Gurndsätzlich hätte ich das Integral genauso gelöst. Man kann hier noch etwas kürzer werden, wenn man nach Umformungen mit nur einer Substitution arbeitet:
[mm] $\frac{1}{x^2+x+1} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(\bruch{2x+1}{\wurzel{3}}\right)^2+1}$
[/mm]
Substitution: $z \ := \ [mm] \bruch{2x+1}{\wurzel{3}}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Sa 18.08.2007 | | Autor: | setine |
super, danke dier!
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