Identität, 0-1 Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mi 15.02.2006 | | Autor: | dump_0 |
Hallo nochmal.
Ich kam leider zu keiner Lösung:
Für welche [mm] \lambda [/mm] ist die folgende Matrix invertierbar
Id - [mm] \lambda*(E_{ij} [/mm] - [mm] E_{ji}) [/mm] i [mm] \not= [/mm] j ?
Berechnen Sie für diese [mm] \lambda [/mm] die Inverse Matrix.
Für welche [mm] \lambda [/mm] ist die matrix diagonalisierbar ?
Also Inverse: Die neue Matrix muss quadratisch sein, der Rang darf sich also nicht ändern, die Determinante darf auch nicht gleich 0 sein.
Zur Diagonalsierbarkeit: Es muss eine Basis aus Eigenvektoren existieren.
Mfg
[mm] dump_0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:52 Do 16.02.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo und guten Morgen,
koenntest Du bitte noch schreiben, was die [mm] E_{ij} [/mm] fuer Matrizen sind ? Sind es die, die an der Zeile i, Spalte j
eine 1 haben und sonst nur Eintraege 0 ?
Dank und Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Do 16.02.2006 | | Autor: | dump_0 |
Sorry, hatte ich vergessen. Es sind die Matrizen die an der Stelle (i,j) eine 1 haben und sonst null. Da i [mm] \not= [/mm] j gilt, müssten es die Matrizen sein, die an allen Stellen ausser auf der Hauptdiagonalen 1-en haben oder ?
Gruß
[mm] dump_0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Do 16.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo dump
Deine Beschreibung der [mm] E_{ij} [/mm] muss falsch sein, i.A. haben die [mm] E_{ij} [/mm] nur eine einzige 1, die Differenz also ne 1 und ne -1 an der Hauptdiagonalen gespiegelt.
(Bei deiner Beschreibung wäre die Klammer0)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Do 16.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Hallo dump
> Deine Beschreibung der [mm]E_{ij}[/mm] muss falsch sein, i.A. haben
> die [mm]E_{ij}[/mm] nur eine einzige 1, die Differenz also ne 1 und
> ne -1 an der Hauptdiagonalen gespiegelt.
Ja, so soll das auch aussehen ... und das ganze dann mit einem Skalar multipliziert.
> (Bei deiner Beschreibung wäre die Klammer0)
Wie kommst du darauf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Do 16.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Id - [mm]\lambda*(E_{ij}[/mm] - [mm]E_{ji})[/mm] i [mm]\not=[/mm] j ?
> Berechnen Sie für diese [mm]\lambda[/mm] die Inverse Matrix.
Ich würde hier folgende Reduktion vornehmen: OBdA setze [m]i=1,j=2[/m] (warum darf man das?) und löse das Problem quasi für eine 2x2 Matrix. Oder man kann so eine Idee für das gesamte bekommen, und das dann übertragen. (Dterminante ausrechnen, Inverse bestimmen)
> Für welche [mm]\lambda[/mm] ist die matrix diagonalisierbar ?
Genauso wie oben - für Diagonalisierbarkeit ist ja blos interessant, was im Unterraum passiert, der von den [m]e_i,e_j[/m] aufgespannt wird passiert (deswegen auch die Reduktion oben ...), auf dem Komplement mit den anderen Einheitsvektoren ist die Abbildung ja immer noch Id!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Do 16.02.2006 | | Autor: | dump_0 |
Ok, OBdA für 2x2 Matrizen [mm] E_{ij}, E_{ji}, [/mm] i = 1, j = 2:
[tex]Id = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } , E_{ij} = \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } , E_{ji} = \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/tex]
[tex]Id - \lambda * (E_{ij} - E_{ji}) = \pmat{ 1 & - \lambda \\ \lambda & 1 }[/tex]
[tex]det = \lambda^2 + 1[/tex] , also für alle [tex]\lambda \in \IR[/tex] existiert eine Inverse zu obiger Matrix, da die Determinante niemals 0 wird.
Inverse: [tex]\pmat{ 0 & \bruch{1}{\lambda}\\ - \bruch{1}{\lambda} & \bruch{1}{\lambda^2} }[/tex]
Will ich nun für diese Matrix (ich nenn sie mal A) die allg. Eigenwerte berechnen bekomme ich das Polynom: [tex]\lambda^2 - \lambda + \bruch{1}{2}[/tex] für welches keine Nullstellen existieren.
Da ist dann Schluss bei mir. Ich würde, falls möglich die Eigenvektoren ausrechnen, orthonormieren, zu einer Basis zusammenfassen (vorher schauen ob die Vektoren auch lin.unabhängig sind), damit habe ich dann eine orthogonale Matrix, z.B. P und damit, weil ja eine Basis aus Eigenvektoren zu obiger in der Aufgabestellung beschriebenen Matrix existiert, dann würde ich damit in Abhängigkeit von [mm] \lambda [/mm] die Diagonalisierbarkeit der Matrix begründen.
Zur Überprüfung vielleicht noch [mm] P^{-1}AP [/mm] berechnen, wodurch dann eine Matrix D enstehen müsste mit allen Eigenwerten obiger Matrix auf der Hauptdiagonalen.
Wäre das die richtige Vorgehensweise und was habe ich oben falsch gemacht weil ich keine Eigenwerte bekomme für die allg. 2x2-Matrix ?
grüße
[mm] dump_0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Do 16.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> [tex]det = \lambda^2 + 1[/tex] , also für alle [tex]\lambda \in \IR[/tex]
> existiert eine Inverse zu obiger Matrix, da die
> Determinante niemals 0 wird.
Okay, sind wir über [m]\IR[/m], oder über [m]\IC[/m]? Für das erstere stimmt das natürlich ...
> Inverse: [tex]\pmat{ 0 & \bruch{1}{\lambda}\\ - \bruch{1}{\lambda} & \bruch{1}{\lambda^2} }[/tex]
Nee, das kann es nicht sein, zumal [m]\lambda=0[/m] erlaubt sein muss - du hast dich irgendwo verrechnet ...
> Will ich nun für diese Matrix (ich nenn sie mal A) die
> allg. Eigenwerte berechnen bekomme ich das Polynom:
> [tex]\lambda^2 - \lambda + \bruch{1}{2}[/tex] für welches keine
> Nullstellen existieren.
Ähem, schmeiß nicht die Variablen durcheinander, für die Matrix wäre das [m](X-1)^2+\lambda^2[/m], wann hat das denn relle Nullstellen? (Wieder angenommen, wir arbeiten über [m]\IR[/m]). Aber ist das dann nicht trivial?!?
> Da ist dann Schluss bei mir.
Mehr Fragen gibt es ja auch nicht in der aufgabe ...
SEcki
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:04 Sa 18.02.2006 | | Autor: | dump_0 |
Ja sorry, hatte ich vergessen, wir arbeiten über [mm] \IR.
[/mm]
Also die inverse habe ich nochmal nachgerechnet, komme aber immer wieder aufs selbe raus. Kann ich denn nicht schreiben das diese Inverse nur für [mm] \lambda \not= [/mm] 0 gilt ? Denn wenn [mm] \lambda [/mm] = 0 ist, dann habe ich ja sowieso die reine Einheitsmatrix als Ausgangsmatrix, weil nur die 1-en auf der Hauptdiagonalen übrig bleiben. Und die Inverse davon ist sie ja selbst.
Noch eine frage: was meinst du mit [tex](X - 1)^2 + \lambda^2[/tex] ?
Grüße
[mm] dump_0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Sa 18.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo [mm]dump_0[/mm],
> Kann ich denn nicht schreiben
> das diese Inverse nur für [mm]\lambda \not=[/mm] 0 gilt ?
Nein. Dazu müsstest Du einen guten Grund vorweisen können.
> Denn wenn
> [mm]\lambda[/mm] = 0 ist, dann habe ich ja sowieso die reine
> Einheitsmatrix als Ausgangsmatrix, weil nur die 1-en auf
> der Hauptdiagonalen übrig bleiben. Und die Inverse davon
> ist sie ja selbst.
Diese Argumentation führt doch genau dazu, dass [mm] $\lambda [/mm] = 0$ zugelassen sein muss und dass in diesem Falle auch die Einheitsmatrix als Inverse herauskommen muss.
Als Inverse habe ich
[m]
\begin{pmatrix}{1 + {-\lambda^2 \over 1+\lambda^2} & {\lambda \over 1+\lambda^2} \\
{-\lambda \over 1+\lambda^2} & {1 \over 1+\lambda^2}} \end{pmatrix}
[/m]
Ohne Gewähr, ich hab's nur einmal durchgerechnet, ohne Kontrolle, aber immerhin kommt für [mm] $\lambda [/mm] = 0$ die Einheitsmatrix raus.
Hth,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:53 Di 21.02.2006 | | Autor: | matux |
Hallo [mm] dump_0 [/mm] !
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem vollständig in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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