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Identität induktiv beweisen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Di 27.06.2006
Autor: Jennymaus

Aufgabe
Beweisen Sie induktiv die Identität
[mm] (1+x)(1+x²)(1+x^{4})...(1+x^{2^{n}}) [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}, [/mm]
sofern x [mm] \not= [/mm] 1 ist.

Hallo!

Ich hab ein Problem bei dieser Aufgabe...
Ich habe den linken Teil so geschrieben:  [mm] \summe_{i=0}^{n} (1+x^{2^{n}}). [/mm] Stimmt doch so, oder?
Wenn ich jetzt aber n=1 einsetze bekomme ich:
linke Seite: 1+x²
rechte Seite: [mm] \bruch{1-x^{4}}{1-x} [/mm]
Aber das stimmt ja nicht...schließlich muss ja linke Seite = rechte Seite sein.
Kann mir evtl. jemand sagen, wo der Fehler liegt?

Liebe Grüße, Jennymaus

        
Bezug
Identität induktiv beweisen: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Di 27.06.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Jenny!


>  Ich habe den linken Teil so geschrieben:  [mm]\summe_{i=0}^{n} (1+x^{2^{n}}).[/mm]
> Stimmt doch so, oder?

[notok] Du addierst die einzelnen Term ja nicht, sondern multiplizierst diese. Du musst also das Produktzeichen verwenden:

[mm] $\produkt_{i=0}^{n}\left(1+x^{2^i}\right)$ [/mm]


>  Wenn ich jetzt aber n=1 einsetze bekomme ich:
>  linke Seite: 1+x²

[notok] Du musst ja mit $n \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] starten:

[mm] $\produkt_{i=0}^{0}\left(1+x^{2^i}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(1+x^{2^0}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(1+x^{0}\right) [/mm] \ = \ 1+x$

[mm] $\bruch{1-x^{2^{0+1}}}{1-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-x^{2}}{1-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(1-x)*(1+x)}{1-x} [/mm] \ = \ 1+x$  [ok]



Bei $n \ = \ 1$ lautet der Ausdruck: [mm] $\left(1+x^{2^0}\right)*\left(1+x^{2^1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(1+x^1\right)*\left(1+x^2\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(1+x\right)*\left(1+x^2\right)$ [/mm]


> rechte Seite: [mm]\bruch{1-x^{4}}{1-x}[/mm]

Wende hier im Zähler zweimal die 3. binomische Formel an:

[mm] $1-x^4 [/mm] \ = \ [mm] \left(1+x^2\right)*\left(1-x^2\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(1+x^2\right)*(1+x)*(1-x)$ [/mm]

Kürzen liefert dann den gewünschten Ausdruck [mm] $\left(1+x\right)*\left(1+x^2\right)$ [/mm] .


Gruß vom
Roadrunner

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