Identität nachrechnen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Sa 12.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Seien A, B endliche abelsche Gruppen und [mm] \hat{A}, \hat{B} [/mm] die zugehörigen dualen Gruppen.
Zeigen Sie: [mm] \widehat{A\times{B}}\cong{\hat{A}\times{\hat{B}}} [/mm] |
Hallo Leute,
also mein Tutor hat mir die passenden Abbildungen, um obiges zu zeigen bereits angegeben und zwar wie folgt:
[mm] \widehat{A\times{B}}\rightarrow{\hat{A}\times{\hat{B}}},
[/mm]
[mm] f\mapsto{[a\mapsto{f((a,1))}]\times{[b\mapsto{f((1,b))}]}}
[/mm]
[mm] \hat{A}\times{\hat{B}}\rightarrow{\widehat{A\times{B}}},
[/mm]
[mm] (f,g)\mapsto{fg} [/mm] mit [mm] fg((a,b))=f(a)\cdot{g(b)}
[/mm]
Mit diesen Angaben reicht es ja nun aus, wenn ich nachrechne, dass die Hintereinanderausführung der Abbildungen die Identität ergibt.
Damit hab ich aber wirklich erhebliche Probleme.
Wär also echt klasse, wenn jemand helfen könnte und mir sagt wie ichs richtig mache!! Danke vielmals!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Sa 12.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien A, B endliche abelsche Gruppen und [mm]\hat{A}, \hat{B}[/mm]
> die zugehörigen dualen Gruppen.
> Zeigen Sie:
> [mm]\widehat{A\times{B}}\cong{\hat{A}\times{\hat{B}}}[/mm]
> Hallo Leute,
> also mein Tutor hat mir die passenden Abbildungen, um
> obiges zu zeigen bereits angegeben und zwar wie folgt:
>
> [mm]\widehat{A\times{B}}\rightarrow{\hat{A}\times{\hat{B}}},[/mm]
>
> [mm]f\mapsto{[a\mapsto{f((a,1))}]\times{[b\mapsto{f((1,b))}]}}[/mm]
Nennen wir die mal [mm] $\Phi$.
[/mm]
> [mm]\hat{A}\times{\hat{B}}\rightarrow{\widehat{A\times{B}}},[/mm]
>
> [mm](f,g)\mapsto{fg}[/mm] mit [mm]fg((a,b))=f(a)\cdot{g(b)}[/mm]
Nennen wir die mal [mm] $\Psi$.
[/mm]
>
>
>
> Mit diesen Angaben reicht es ja nun aus, wenn ich
> nachrechne, dass die Hintereinanderausführung der
> Abbildungen die Identität ergibt.
> Damit hab ich aber wirklich erhebliche Probleme.
> Wär also echt klasse, wenn jemand helfen könnte und mir
> sagt wie ichs richtig mache!! Danke vielmals!
Was genau ist denn dein Problem? Um zu zeigen, dass [mm] $\Phi \circ \Psi [/mm] = [mm] id_{\hat{A}\times{\hat{B}}}$ [/mm] ist, musst du ein Element aus [mm] $\hat{A}\times{\hat{B}}$ [/mm] nehmen, sagen wir $(f, g) [mm] \in \hat{A}\times{\hat{B}}$, [/mm] und zeigen, dass [mm] $\Phi(\Psi(f, [/mm] g)) = (f, g)$ ist. Da $f, g$ Funktionen sind, nimmst du $a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B$ und rechnest [mm] $\Phi(\Psi(f, [/mm] g))(a, b) = (f, g)(a, b) = (f(a), g(b))$ nach.
Also, schreib doch mal [mm] $\Phi(\Psi(f, [/mm] g))(a, b)$ aus.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 12.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
> Was genau ist denn dein Problem? Um zu zeigen, dass [mm]\Phi \circ \Psi = id_{\hat{A}\times{\hat{B}}}[/mm]
> ist, musst du ein Element aus [mm]\hat{A}\times{\hat{B}}[/mm]
> nehmen, sagen wir [mm](f, g) \in \hat{A}\times{\hat{B}}[/mm], und
> zeigen, dass [mm]\Phi(\Psi(f, g)) = (f, g)[/mm] ist. Da [mm]f, g[/mm]
> Funktionen sind, nimmst du [mm]a \in A, b \in B[/mm] und rechnest
> [mm]\Phi(\Psi(f, g))(a, b) = (f, g)(a, b) = (f(a), g(b))[/mm] nach.
>
> Also, schreib doch mal [mm]\Phi(\Psi(f, g))(a, b)[/mm] aus.
Mein Problem liegt eben genau im Nachrechnen, irgendwo hakt es da ungemein. Also ich versuchs mal.
Es ist doch
[mm] \Phi(\Psi(f,g))(a,b)=\Phi(fg)(a,b)=fg((a,1))\times{fg((1,b))}=f(a)\cdot{}g(1)\times{f(1)\cdot{}g(b)}=f(a)\times{g(b)}=(f(a),g(b))
[/mm]
Ist das so ungefähr richtig oder was mach ich falsch?
Reicht es eigentlich, wenn ich das dann gezeigt hab oder muss ich auch noch nachrechnen, dass [mm] \Psi\circ{\Phi}=id_{\widehat{A\times{B}}}??
[/mm]
Vielen Dank schon mal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Sa 12.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Was genau ist denn dein Problem? Um zu zeigen, dass [mm]\Phi \circ \Psi = id_{\hat{A}\times{\hat{B}}}[/mm]
> > ist, musst du ein Element aus [mm]\hat{A}\times{\hat{B}}[/mm]
> > nehmen, sagen wir [mm](f, g) \in \hat{A}\times{\hat{B}}[/mm], und
> > zeigen, dass [mm]\Phi(\Psi(f, g)) = (f, g)[/mm] ist. Da [mm]f, g[/mm]
> > Funktionen sind, nimmst du [mm]a \in A, b \in B[/mm] und rechnest
> > [mm]\Phi(\Psi(f, g))(a, b) = (f, g)(a, b) = (f(a), g(b))[/mm] nach.
> >
> > Also, schreib doch mal [mm]\Phi(\Psi(f, g))(a, b)[/mm] aus.
>
>
> Mein Problem liegt eben genau im Nachrechnen, irgendwo hakt
> es da ungemein. Also ich versuchs mal.
> Es ist doch
>
> [mm]\Phi(\Psi(f,g))(a,b)=\Phi(fg)(a,b)=fg((a,1))\times{fg((1,b))}=f(a)\cdot{}g(1)\times{f(1)\cdot{}g(b)}=f(a)\times{g(b)}=(f(a),g(b))[/mm]
>
> Ist das so ungefähr richtig oder was mach ich falsch?
Sieht gut aus!
> Reicht es eigentlich, wenn ich das dann gezeigt hab oder
> muss ich auch noch nachrechnen, dass
> [mm]\Psi\circ{\Phi}=id_{\widehat{A\times{B}}}??[/mm]
Das musst du auch noch nachrechnen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 12.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay also ich nenne im Folgenden die Abbildung [mm] a\mapsto{f((a,1))}\text{ }f_1 [/mm] und die Abbildung [mm] b\mapsto{f((1,b))}\text{ }f_2. [/mm] Dann gilt mit [mm] h\in{\widehat{A\times{B}}} [/mm] doch folgendes:
[mm] \Psi(\Phi(h))(a,b)=\Psi(f_1\times{f_2})(a,b)=f_1f_2(a,b)=f_1(a)\cdot{}f_2(b)=h((a,1))\cdot{}h((1,b))
[/mm]
Stimmt das soweit?? Und wie komm ich damit dann zu h(a,b)? Danke schon mal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Sa 12.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Passt zumindest das was ich geschrieben??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 So 13.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Okay also ich nenne im Folgenden die Abbildung
> [mm]a\mapsto{f((a,1))}\text{ }f_1[/mm] und die Abbildung
> [mm]b\mapsto{f((1,b))}\text{ }f_2.[/mm] Dann gilt mit
> [mm]h\in{\widehat{A\times{B}}}[/mm] doch folgendes:
Ich vermute mal, $h$ ist gleich $f$?
> [mm]\Psi(\Phi(h))(a,b)=\Psi(f_1\times{f_2})(a,b)=f_1f_2(a,b)=f_1(a)\cdot{}f_2(b)=h((a,1))\cdot{}h((1,b))[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt das soweit?? Und wie komm ich damit dann zu h(a,b)?
> Danke schon mal!
Na, benutze dass $h$ ein Homomorphismus ist. In $G [mm] \times [/mm] H$ gilt $(a, 1) (1, b) = (a, b)$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 So 13.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
In [mm]G \times H[/mm] gilt [mm](a, 1) (1, b) = (a, b)[/mm].
Ah okay dann is alles klar! Vielen Dank nochmal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 14.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Mir ist grad aufgefallen, dass ich ja gar nicht fertig bin, wenn ich nachgerechnet hab, dass die Komposition der beiden Abbildungen jeweils die Identität ergibt.
Ich hab ja dann nur gezeigt, dass es eine Bijektion von [mm] \widehat{A\times{B}} [/mm] nach [mm] \hat{A}\times{\hat{B}} [/mm] gibt.
Aber wie zeig ich jetzt noch, dass es sich dabei auch um einen Homomorphismus handelt??
Wär toll, wenn da noch kurz jemand helfen könnt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mo 14.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Mir ist grad aufgefallen, dass ich ja gar nicht fertig bin,
> wenn ich nachgerechnet hab, dass die Komposition der beiden
> Abbildungen jeweils die Identität ergibt.
> Ich hab ja dann nur gezeigt, dass es eine Bijektion von
> [mm]\widehat{A\times{B}}[/mm] nach [mm]\hat{A}\times{\hat{B}}[/mm] gibt.
>
> Aber wie zeig ich jetzt noch, dass es sich dabei auch um
> einen Homomorphismus handelt??
Na, so wie man das seit der Linearen Algebra I zeigt: man nimmt Elemente $a, b$ aus der Gruppe und rechnet $f(a b) = f(a) f(b)$ nach.
Da $f(a), f(b)$ hier Abbildungen sind, musst du ebenfalls wieder ein Element $x$ aus dem Definitionsbereich nehmen und $f(a b)(x) = (f(a) f(b))(x)$ nachrechnen.
Versuch's doch mal und sag uns, wo genau du scheiterst.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 14.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay dann versuch ichs mal:
[mm] \Phi(fg)(a,b)=fg((a,1))\times{}fg((1,b))=f(a)\cdot{}g(1)\times{}f(1)\cdot{}g(b)=f(a)\times{}g(b)=(f(a),g(b))
[/mm]
[mm] (\Phi(f),\Phi(g))(a,b)=?
[/mm]
Wie gehts hier weiter??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Mo 14.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ist der erste Teil zumindest korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mo 14.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Okay dann versuch ichs mal:
>
> [mm][mm] \Phi(fg)(a,b)=fg((a,1))\times{}fg((1,b))=f(a)\cdot{}g(1)\times{}f(1)\cdot{}g(b)
[/mm]
Das ist Quark. Ueberleg dir erstmal, was $f$ und $g$ ueberhaupt sind. Was soll $f(a)$ bzw. $g(b)$ denn sein? Du musst schon $f(a, b)$ und $g(a, b)$ verwenden!
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mo 14.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Au man ich bin da grad echt ein wenig überfordert. Hättest du noch an Tipp?
Wie fang ich denn überhaupt an??
[mm] \Phi(f(a,b)g(a,b)) [/mm] oder wie?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:01 Di 15.06.2010 | | Autor: | felixf |
> Au man ich bin da grad echt ein wenig überfordert.
> Hättest du noch an Tipp?
Wie schon gesagt: was genau sind $f$ und $g$? Das sind doch Homomorphismen von $G [mm] \times [/mm] H$ nach [mm] $\IC^\ast$.
[/mm]
> Wie fang ich denn überhaupt an??
>
> [mm]\Phi(f(a,b)g(a,b))[/mm] oder wie?
So sicher nicht, da du in [mm] $\Phi$ [/mm] keine Werte aus [mm] $\IC$ [/mm] setzen kannst.
[mm] $\Phi(f [/mm] g)(a, b)$ ist schon der richtige Anfang. Und das ist auch $(f g)(a, 1) [mm] \times [/mm] (f g)(1, b)$.
Was sind jetzt $(f g)(a, 1)$ und $(f g)(1, b)$? Bzw. was ist $f g$ ueberhaupt?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Di 15.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Jetzt bin ich doch mehr verwirrt als ich zunächst angenommen hab.
Ich hab das doch weiter oben schon mal berechnet und da war [mm] (fg)(a,1)\times (fg)(1,b)=f(a)\times{}g(b) [/mm] und jetzt ist das was anders oder wie??
fg ist ja auch wieder ein Homomorphismus von [mm] A\times{B} [/mm] nach [mm] \IC^\ast [/mm] aber inwiefern hilft mir das??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Di 15.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Jetzt bin ich doch mehr verwirrt als ich zunächst
> angenommen hab.
> Ich hab das doch weiter oben schon mal berechnet und da
> war [mm](fg)(a,1)\times (fg)(1,b)=f(a)\times{}g(b)[/mm] und jetzt
> ist das was anders oder wie??
Damals waren $f$, $g$ und $f g$ etwas anderes als jetzt.
Du musst dir schon genau angucken, was du wo einsetzt.
> fg ist ja auch wieder ein Homomorphismus von [mm]A\times{B}[/mm]
> nach [mm]\IC^\ast[/mm] aber inwiefern hilft mir das??
Wie ist er definiert?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:30 Di 15.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ja wie ist er denn definiert?! Wenn ich das wüsst :). Sorry ich steh hier wirklich aufm Schlauch!
Gilt hier vielleicht fg(a,b)=f(a,b)g(a,b) ich weiß es wirklich nicht!!
Wär nett, wenn du mich einweihen würdest. Dank dir.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:05 Mi 16.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Also ich wage nochmal an Versuch dieses Mal aus der anderen Richtung
[mm] \Phi(f)(a,b)\cdot{}\Phi(g)(a,b)=(f(a,1)\times{}f(1,b))\cdot{}(g(a,1)\times{}g(1,b))=(f(a,1)\cdot{}g(a,1))\times{}(f(1,b)\cdot{}g(1,b))=fg(a,1)\times{}fg(1,b)=\Phi(fg)(a,b)
[/mm]
Ist das so dann richtig oder was hab ich falsch gemacht??
Wär echt richtig klasse, wenn mir dabei jemand helfen könnte!
Vielen Dank schon mal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mi 16.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Wär echt nett, wenn jemand das kurz bestätigen könnte, dann wüsst ich wie ich weitermachen kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Mi 16.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ich bin normalerweise nicht derjenige, der auf ungeduldig macht, aber das wär wirklich wichtig. Also wär echt richtig klasse, wenn da noch jemand helfen könnte. Danke schon mal vielmals.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Do 17.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
okay hat sich erledigt, die Bestätigung kam von anderer Seite!
|
|
|
|
