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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:18 Mi 11.04.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, ich habe einen Wahrscheinlichkeitsraum gegeben und zwar:
[mm] $\left(\left\{0,1\right\}^{\mathbb N}, \mathfrak{Pot}\left(\left\{0,1\right\}^{\mathbb N}\right), \mu^{\otimes\mathbb N}\right)$
[/mm]
Nun sei noch eine Zufallsvariable
[mm] $X:\left\{0,1\right\}^{\mathbb N}\to [/mm] [0,1]$
[mm] $\omega=(\omega_1,\omega_2,...)\mapsto \sum_{i\geq 1}\omega_i\cdot 2^{-i}$
[/mm]
gegeben.
Man soll nun zeigen, daß [mm] $PX^{-1}$ [/mm] das Lebesgue-Maß ist. |
Also erstmal habe ich mir überlegt, daß ja vermutlich die Borel-sigma-Algebra auf $[0,1]$ gemeint ist, also
[mm] $\mathcal{B}([0,1])=\sigma\left\{[0,1]\cap (a,b)~|~(a,b)\in \tau\right\}$,
[/mm]
wobei ich mit [mm] $\tau$ [/mm] die natürliche Topologie auf [mm] $\mathbb [/mm] R$ meine.
Und [mm] $PX^{-1}$ [/mm] ist die Verteilung der ZV X, also das Bildmaß von [mm] $\mu^{\otimes\mathbb N}$ [/mm] unter X.
Demnach ist
[mm] $PX^{-1}(E)=\mu^{\otimes\mathbb N}\left(\left\{\omega\in\left\{0,1\right\}^{\mathbb N}~|~X(\omega)\in E\right\}\right)~\forall~E\in\mathcal{B}([0,1])$
[/mm]
An dieser Stelle stecke ich nun allerdings fest.
Ich habe erstens keine Ahnung, um welches Maß es sich bei [mm] $\mu^{\otimes\mathbb N}$ [/mm] eigentlich handelt und zweitens fehlt mir eine Idee, wie ich die Übereinstimmung mit dem Lebesgue-Maß zeigen kann.
Vielleicht mit dem Eindeutigkeitssatz von Maßen?
Zwei sigma-endliche Maße sind dann identisch, wenn sie auf einem schnittstabilen Erzeuger übereinstimmen?
Schnittstabiler Erzeuger sind hier die Mengen der Spurtopologie? Wie ist eigentlich das Lebesgue-Maß konkret definiert, um damit zu rechnen (ich kenne nur die sehr umständliche Konstruktion über das äußere Maß, aber keine konkrete Definition, mit der ich jetzt schlicht überprüfen könnte, ob die Maße auf den Menge der Spurtopologie auf [0,1] übereinstimmen)?
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
[mm] \textit{mikexx}
[/mm]
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Hallo,
> Hallo, ich habe einen Wahrscheinlichkeitsraum gegeben und
> zwar:
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> [mm]\left(\left\{0,1\right\}^{\mathbb N}, \mathfrak{Pot}\left(\left\{0,1\right\}^{\mathbb N}\right), \mu^{\otimes\mathbb N}\right)[/mm]
>
> Nun sei noch eine Zufallsvariable
>
> [mm]X:\left\{0,1\right\}^{\mathbb N}\to [0,1][/mm]
>
> [mm]\omega=(\omega_1,\omega_2,...)\mapsto \sum_{i\geq 1}\omega_i\cdot 2^{-i}[/mm]
>
> gegeben.
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>
> Man soll nun zeigen, daß [mm]PX^{-1}[/mm] das Lebesgue-Maß ist.
>
>
> Also erstmal habe ich mir überlegt, daß ja vermutlich die
> Borel-sigma-Algebra auf [mm][0,1][/mm] gemeint ist, also
>
> [mm]\mathcal{B}([0,1])=\sigma\left\{[0,1]\cap (a,b)~|~(a,b)\in \tau\right\}[/mm],
>
> wobei ich mit [mm]\tau[/mm] die natürliche Topologie auf [mm]\mathbb R[/mm]
> meine.
>
> Und [mm]PX^{-1}[/mm] ist die Verteilung der ZV X, also das Bildmaß
> von [mm]\mu^{\otimes\mathbb N}[/mm] unter X.
>
> Demnach ist
>
> [mm]PX^{-1}(E)=\mu^{\otimes\mathbb N}\left(\left\{\omega\in\left\{0,1\right\}^{\mathbb N}~|~X(\omega)\in E\right\}\right)~\forall~E\in\mathcal{B}([0,1])[/mm]
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> An dieser Stelle stecke ich nun allerdings fest.
>
> Ich habe erstens keine Ahnung, um welches Maß es sich bei
> [mm]\mu^{\otimes\mathbb N}[/mm] eigentlich handelt
Der Raum [mm]\{0,1\}^{\IN}[/mm] ist der Raum der Folgen mit Bildbereich [mm]\{0,1\}[/mm] (d.h. die Folgenglieder können nur 0 oder 1 sein), und [mm]\mu^{\otimes\mathbb N}[/mm] ist so etwas wie das "normierte" (Produkt-)Zählmaß darauf.
Ein Beispiel:
Die Menge [mm]E := [\frac{1}{2},1)[/mm] sollte das Lebesgue-Maß [mm]\frac{1}{2}[/mm] haben. Es ist:
[mm]PX^{-1}(E) = \mu^{\otimes\mathbb N}\left(\omega_1 = 1, \left\{\omega_2,\omega_3,...\in\left\{0,1\right\}~|~X(\omega)\in E\right\}\right) = \frac{1}{2}[/mm]
(denn es können genau die Hälfte aller möglichen Folgen ausgewählt werden: es muss [mm] $\omega_1 [/mm] = 1$ sein).
> Vielleicht mit dem Eindeutigkeitssatz von Maßen?
Das denke ich auch.
> Zwei sigma-endliche Maße sind dann identisch, wenn sie auf
> einem schnittstabilen Erzeuger übereinstimmen?
Ja.
> Schnittstabiler Erzeuger sind hier die Mengen der
> Spurtopologie? Wie ist eigentlich das Lebesgue-Maß konkret
> definiert, um damit zu rechnen (ich kenne nur die sehr
> umständliche Konstruktion über das äußere Maß, aber
> keine konkrete Definition, mit der ich jetzt schlicht
> überprüfen könnte, ob die Maße auf den Menge der
> Spurtopologie auf [0,1] übereinstimmen)?
Ich kenne folgende Definition:
Auf der Semialgebra [mm] $\gamma [/mm] := [mm] \{[a,b), a,b \in [0,1]\}$ [/mm] wird [mm] $\lambda([a,b)) [/mm] = b-a$ definiert.
Dann gibt es eine eindeutige Fortsetzung auf die Algebra [mm] $A(\gamma)$, [/mm] und mit Hilfe des Maßerweiterungssatzes auf die Borelsche Sigma-Algebra $B(0,1) = [mm] \sigma(\gamma)$.
[/mm]
Evtl. kann man zeigen, dass auf allen Intervallen $[a,b)$ eine Übereinstimmung mit dem Lebesgue-Maß vorliegt. Dazu musst du dich mal etwas genauer mit dem Dualsystem beschäftigen, worum es hier ja geht 
Überleg dir zum Beispiel mal, was bei $E = [1/3, 1)$ passiert.
Evtl. kann man mit Stetigkeitsargumenten usw. sogar erreichen, die Identität nur für $[q,1)$ mit [mm] $q\in \IQ$ [/mm] zeigen zu müssen.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 13.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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