Identität zeigen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Do 08.06.2006 | | Autor: | Zaed |
| Aufgabe | | Sei [mm]k \in \IN[/mm]. Weisen sie für [mm] \left| x \right| < 1[/mm] die Identität [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}} = \summe_{n=0}^{ \infty} {n+k \choose n}x^{n}[/mm]nach. |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Ich habe absolut keine Ahnung wie ich da herangehen soll...
Meine erste Überlegung war, dass ich den Ausdruck [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm] ja auch in die geometrische Reihe umformen kann. Dies ist wegen [mm]\left| x \right| < 1[/mm] sehr sinnvoll (denke ich mal). So denke ich mir zumindest, kann man an die Summe kommen.
Somit erhalte ich nun [mm] (\summe_{n=1}^{ \infty} x^{n})^{k+1}
[/mm]
Nun habe ich versucht das erste Element der Summe wegzunehmen, und erhalte somit folgendes:
[mm]
(\summe_{n=0}^{ \infty} x^{n})^{k+1} - 1^{k+1}
[/mm]
Nun kann ich ja folgende Identität anwenden:
[mm] (a-b) \summe_{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k} = a^{n+1} - b^{n+1} [/mm]
Dann erhalte ich nun:
[mm]
((\summe_{n=0}^{ \infty} x^{n}) - 1) \summe_{k=0}^{n}(\summe_{n=0}^{ \infty} x^{n})^{k}1^{n-k}
[/mm]
Doch wie mache ich da weiter, oder haben diese Schritte überhaupt einen Sinn?
Vielen Dank, mfG Zaed
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:24 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Zaed
und erst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
deine Frage wurde von belgarda schon einmal gestellt und zwar hier <-- click it
Der Querverweis, dient dann dazu, dass diese Frage nicht zweimal beantwortet werden muss.
Liebe Grüße
Herby
seid ihr vielleicht im gleichen Kurs?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo zaed!
> Nun habe ich versucht das erste Element der Summe
> wegzunehmen, und erhalte somit folgendes:
>
> [mm](\summe_{n=0}^{ \infty} x^{n})^{k+1} - 1^{k+1}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du darfst den Summand $1_$ nicht aus der Klammer mit der Potenz ziehen! Es muss heißen:
[mm] $\left( \ \summe_{n=1}^{ \infty} x^{n} \ \right)^{k+1} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \summe_{n=0}^{ \infty} x^{n} - 1 \ \right)^{k+1}$
[/mm]
Meine Idee wäre eher eine vollständige Induktion über die Variable $k_$ .
Gruß
Loddar
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Hallo Zaed,
Loddar hat ja schon den Weg genannt (Induktion). Für den Induktionsschritt würde ich vorschlagen Beide Seiten deiner Gleichung einmal abzuleiten. (Die Summe gliedweise differenzieren)
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Zaed |
Danke erstmal , ...
Das mit der Induktion klingt sehr einleuchtend. Das habe ich auch gleich mal versucht... Der Induktionsanfang ist ja recht einfach, da ich dann einfach die geometrische Reihe dastehen habe.
Nun mache ich den Induktionsschritt und setze die Gültigkeit für k vorraus. Da kann ich ja nun [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+2}} [/mm] wie folgt schreiben:
[mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+2}} = \bruch{1}{(1-x)^{k+1}}\bruch{1}{(1-x)} [/mm]
Darauf kann ich nun meine Induktionsvorraussetzung anwenden. Aber genau da komme ich nicht so recht weiter, da ich dann
[mm]
\bruch{1}{(1-x)}\summe_{n=0}^{ \infty} {n+k \choose n}x^{n}
[/mm]
stehen habe. Ich habe auch schon versucht den Ausdruck vor der Summe in die geometrische Reihe umzuwandeln, jedoch erhalte ich da eine Doppelsumme mit der ich auch nicht so viel anfangen kann.
Die Idee mit der Ableitung habe ich mir auch schon durch den Kopf gehen lassen, jedoch haben wir differenzieren nocht nicht behandelt und dürfen dies demzufolge auch nicht verwenden.
Vielleicht kann mir ja jemand einen Hinweis geben, wie ich an der Stelle weiter verfahren kann.
Vielen Dank
mfG Zaed
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Hallo Zaed,
Man will also zeigen:
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} {{n+k+1}\choose n}x^{n}=\bruch{1}{(1-x)}\summe_{n=0}^{ \infty} {{n+k}\choose n}x^{n}
[/mm]
Was passiert denn wenn man mit 1-x durchmultipliziert.Natürlich immer die Rechenregeln für den  Binomialkoeffizient im Auge behalten.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo, ...
Danke für deine Antwort
ich habe versucht die Summe mit (1-x) zu multiplizieren. Jedoch weiß ich nicht, inwiefern ich hier die Rechenregeln für den Binomialkoeffizienten anwenden soll. Ich habe versucht den Koeffizienten auseinanderzuziehen, jedoch bringt mir das nicht viel, da ich dann leider nicht mehr sehe als vorher :(
Und das [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] in die geometrische Reihe umzuformen bringt mir auch nicht viel, da ich dann an eine Doppelsumme gerate.
Inwiefern soll ich hier die Rechenregeln für den Binomialkoeffizienten verwenden? Kann mir diesbezüglich vielleicht jemand weiterhelfen? Ich verstehe nicht ganz, was man mit (1-x) durchmultiplizieren erreichen kann.
Vielen Dank
mfG Zaed
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Hallo Zaed,
Ich mach die Rechnung mal etwas ausführlicher:
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} {{n+k+1}\choose n}x^{n}=\bruch{1}{(1-x)}\summe_{n=0}^{ \infty} {{n+k}\choose n}x^{n}
[/mm]
mit 1-x durchmultiplizieren
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} {{n+k+1}\choose n}x^{n}(1-x)=\summe_{n=0}^{ \infty} {{n+k}\choose n}x^{n}
[/mm]
ausmultiplizieren
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} {{n+k+1}\choose n}x^{n}-\summe_{n=0}^{ \infty} {{n+k+1}\choose n}x^{n}*x=\summe_{n=0}^{ \infty} {{n+k}\choose n}x^{n}
[/mm]
eine Indexverschiebung bei der 2.Summe
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} {{n+k+1}\choose n}x^{n}-\summe_{n=1}^{ \infty} {{n+k}\choose {n-1}}x^{n}=\summe_{n=0}^{ \infty} {{n+k}\choose n}x^{n}
[/mm]
Bei den Summen ab n=0 den ersten Summanden rausziehen.
[mm] 1+\summe_{n=1}^{ \infty} {{n+k+1}\choose n}x^{n}=1+\summe_{n=1}^{ \infty} {{n+k}\choose n}x^{n}+\summe_{n=1}^{ \infty} {{n+k}\choose {n-1}}x^{n}
[/mm]
Bevor Du jetzt einfach addieren kannst mußt Du natürlich noch überlegen das die Summen konvergieren.( Induktionsvoraussetzung + Majorantenkriterium)
[mm] 1+\summe_{n=1}^{ \infty} {{n+k+1}\choose n}x^{n}=1+\summe_{n=1}^{ \infty} \left( {{n+k}\choose n}+ {{n+k}\choose {n-1}} \right) x^{n}
[/mm]
Und diese Gleichheit wäre einfach eine angewendete Rechenregel für den Binomialkoeffizienten.
Als Beweis müßte man das ganze nat. von "unten nach oben" aufschreiben.
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo, Danke!
Das ist mir nun klar. Allerdings habe ich im laufe des Tages nochmal nachgedacht und eine andere Variante gefunden. Kann man das wie folgt machen?
[mm]
\bruch{1}{(1-x)^{k+2}} = \bruch{1}{1-x} \summe_{n=0}^{\infty}{n+k \choose n}x^n
[/mm]
Daraus folgt ja nun
[mm]
\summe_{n=0}^{\infty}x^n\summe_{n=0}^{\infty}{n+k \choose n}x^n
[/mm]
Hierauf wende ich nun das Cauchyprodukt an, und erhalte somit
[mm]
\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{n}{j+k \choose j}x^{n-j}x^j = \summe_{n=0}^{\infty}x^n\summe_{j=0}^{n}{j+k \choose j}
[/mm]
Nun ist zu zeigen: [mm] \summe_{j=0}^{n}{j+k \choose j} = {n+k+1 \choose n} [/mm]
Dies würde ich mit Induktion über n versuchen:
IA: [mm] n=0: \summe_{j=0}^{0}{j+k \choose j} = {k \choose 0} = 1 = {k+1 \choose 0} [/mm]
IS: Vorrausetzung sei, dass dies für n gilt. Zeigen, dass es für n=n+1 gilt
[mm]
\summe_{j=0}^{n+1}{j+k \choose j} = \summe_{j=0}^{n}{j+k \choose j} + {n+k+1 \choose n+1} = {n+k+1 \choose n+1} + {n+k+1 \choose n} [/mm]
[mm] = {n+k+2 \choose n+1} , da {n \choose k+1} + {n \choose k} = {n+1 \choose k+1}[/mm]
Damit ist es ja gezeigt, oder habe ich da etwas falsch gemacht?
mfG Zaed
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Hallo Zaed,
Ich sehe keine Fehler. Du kannst ja noch dazusagen das die beim ![[]](/images/popup.gif) Cauchyprodukt vorausgesetzte absolute Konvergenz induktiv mitgezeigt wurde.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Zaed |
Vielen Dank mathemaduenn. Du hast mir sehr geholfen ;)
mfG Zaed
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