Immer noch Polynome... < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Sabine_ |
Hallo!
Warum auch immer ... der Dozent möchte uns noch weiter mit Polynomen "quälen", die ich nciht so Recht fassen kann und folglich vor den Aufgaben sitze und kein Land sehe!
Hat vielleicht jemand eine Idee zu folgender Aufgabe?! Damit wäre mir sehr geholfen!
Aufgabe:
(i) Für ein Polynom f = [mm] \summe_{k=0}^{n} f_{k} t^{k} \in [/mm] K[t] und ein weiteres Polynom p [mm] \in [/mm] K[t] definiert die "Hintereinanderausführung" als das Polynom f [mm] \circ p=\summe_{k=0}^{n}f_{k} p^{k}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] (f\circ p)'=(f'\circ [/mm] p)p' gilt. (f' bezeichnet die Ableitung)
(ii) Sei B die Matrix p(A), wobei A [mm] \in K^{mxm} [/mm] ist und p ein beliebiges Polynom mit Koeffizienten aus K ist. Zeigen Sie: Wenn die Ableitung p' zum Minimalpolynom von A teilerfremd ist, und B diagonalisierbar ist, dass ist auch A diagonailiserbar.
Vielen lieben Dank für jede erdenklich Hilfe!
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Hallo!
> Warum auch immer ... der Dozent möchte uns noch weiter mit
> Polynomen "quälen", die ich nciht so Recht fassen kann und
> folglich vor den Aufgaben sitze und kein Land sehe!
Also, ich finde Polynome eigentlich immer ganz schön - die kennt man noch aus der Schule und irgendwie kann man damit einfach rumrechnen, da kann man wenigstens mal was ausprobieren. Und deswegen versuche ich mich jetzt mal an deiner Aufgabe:
> (i) Für ein Polynom f = [mm]\summe_{k=0}^{n} f_{k} t^{k} \in[/mm]
> K[t] und ein weiteres Polynom p [mm]\in[/mm] K[t] definiert die "Hintereinanderausführung" als das Polynom f [mm]\circ p=\summe_{k=0}^{n}f_{k} p^{k}.[/mm] Zeigen Sie, dass [mm](f\circ p)'=(f'\circ[/mm] p)p' gilt. (f' bezeichnet die Ableitung)
Ich glaube, du musst das einfach nur "hinschreiben". Also, [mm] f'=\summe_{k=0}^{n} [/mm] (k* [mm] f_{k} t^{k-1})=\summe_{k=1}^{n} [/mm] (k* [mm] f_{k} t^{k-1} [/mm] (denn für k=0 ist der "erste" Teil =0!)
Und jetzt kannst du das auch für f [mm] \circ p=\summe_{k=0}^{n}f_{k} p^{k} [/mm] machen und auch für deinen anderen Teil, und da müsste dann eigentlich dasselbe rauskommen.
Ich habe es noch nicht ausprobiert, und es wäre mir wohl auch zu viel Schreibarbeit, aber vielleicht hilft es dir ja, und wenn du nicht weiterkommst, und dir ein bisschen Schreibarbeit machen willst, dann gucke ich mir deine Rechnung bestimmt mal an.
Ich fürchte, bei deiner zweiten Aufgabe kann ich dir erstmal nicht weiterhelfen.
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:34 Do 18.11.2004 | | Autor: | Sabine_ |
Hallo nochmal!
Brauche nochmal Hilfe, komme mit diesen Summen einfach nicht klar. Kann mir vielleicht jemand grade den Anfang nochmal korrekt aufschreiben, dann versuch ich's nochmal.
Wäre echt toll.
Grüße
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Hallo, Sabine,
zu (i) riskiere ich es mal, Unsinn von mir zu geben
aber so wie es beschrieben ist ist $ f [mm] \circ [/mm] p $ nichts anderes als $f [mm] (\, p(t)\, [/mm] )$, die Summen fast belanglos;
muß denn
nun neuerlich die Kettenregel für die Ableitung nach $t$ hergeleitet werden?
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