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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:16 Di 23.12.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich brauche dringend Hilfe bei der Berechnung eines impliziten Eulerschritts. Ich erkläre zunächst den Sachverhalt:
Betrachte n-dimensionale ODE:
[mm] $\alpha'\,=\,6B^{-1}\left(\lambda G(\alpha)-\frac{1}{(\triangle x)^2}A\alpha\right)\,=:\,g(\alpha)$
[/mm]
wobei [mm] $\alpha',\alpha,G(\alpha)\in\IR^n$, $B,A\in\IR^{n\times n}$ [/mm] (Tridiagonalmatrizen) und [mm] $\lambda,\triangle x\in\IR$.
[/mm]
Implizites Euler-Verfahren:
Äquidistante diskrete Zeitpunkte:
[mm] $t_n\,:=\,n\cdot k\,=\,n\cdot\triangle [/mm] t$, mit [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
Gesucht: [mm] $\alpha_{n+1}\in\IR^n$ [/mm] mit
[mm] $\alpha_{n+1}\,=\,\alpha_n+\triangle t\cdot g(\alpha_{n+1})$, $n\in\IN_0$ [/mm] (Implizites Eulerverfahren)
wobei [mm] $\alpha_0\in\IR^n$ [/mm] gegeben ist.
[mm] $\Longrightarrow$ [/mm] Löse n-dimensionales nichtlineares Gleichungssystem
[mm] $\Longrightarrow$ [/mm] Formuliere dieses Problem als Nullstellenaufgabe: Gesucht [mm] $\alpha\in\IR^n$ [/mm] mit
[mm] $f(\alpha)\,:=\,\alpha-\alpha_n-\triangle t\cdot g(\alpha)\,\overset{!}{=}\,0$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow$ [/mm] Löse die Nullstellenaufgabe mit dem mehrdimensionalen Newton-Verfahren (dann ist [mm] $\alpha_{n+1}:=\alpha$)
[/mm]
1. Frage: Stimmt mein Ansatz bis hierher?
Newton-Verfahren:
Diese Nullstellenaufgabe lässt sich äquivalent in ein Fixpunktproblem umschreiben, d.h.: Gesucht [mm] $\alpha\in\IR^n$ [/mm] mit
[mm] $\alpha\,\overset{!}{=}\,N_f(\alpha)\,:=\,\alpha-(J(\alpha))^{-1}\cdot f(\alpha)$
[/mm]
wobei [mm] $J(\alpha)$ [/mm] die Jacobi-Matrix von $f$ bezeichnet.
Dazu berechne
[mm] $x_{n+1}\,:=\,x_n-(J(x_n))^{-1}\cdot f(x_n)$ [/mm] (Newton-Verfahren)
2. Frage: Wie muss ich beim Newton-Verfahren [mm] $x_0$ [/mm] wählen? Ich habe doch nur [mm] $\alpha_0$ [/mm] für das implizite Euler-Verfahren gegeben. Muss ich [mm] $x_0=\alpha_0$ [/mm] setzen?
3. Frage: Genügt es zur Berechnung von [mm] $\alpha_{n+1}$ [/mm] lediglich einen Newton-Schritt zu machen?
Da die numerische Berechnung einer Inversematrix sehr aufwendig ist, lösen wir stattdessen das lineare Gleichungssystem
[mm] $J(x_n)\cdot \triangle x_n\,=\,-f(x_n)$
[/mm]
wobei [mm] $\triangle x_n:=x_{n+1}-x_n$ [/mm] gesucht wird. Anschließend ist
[mm] $x_{n+1}\,=\,x_n+\triangle x_n$
[/mm]
der Wert unseres 1. Iterationsschritts des Newton-Verfahrens.
4. Frage: Stimmen meine Überlegungen bis hierher?
Hauptfrage: Wie erhalten ich nun [mm] $\alpha_{n+1}$?
[/mm]
Bitte bitte, helft mir noch einmal kurz vor Weihnachten.
Danke und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mi 31.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:06 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich suche nach wie vor eingehend nach Antworten auf meine Fragen. Hat keiner eine Ahnung?
Gruß
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