Implizit Differenzieren < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Mayra |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöchen!
Ich habe ein Problem beim Lösen einiger Aufgaben.
Die erste heißt.
(1)Durch die folgende Gleichung und die hinzugefügten Bedingungen ist eine Funktion f festgelegt; ermittle ihre Funktionsgleichungen y=f(x).
(2)Differenziere die Funktion 1.) durch die Anwendung der Kettenregel auf die Funktionsgleichungen, 2.) durch implizites Differenzieren der gegebenen Relationsgleichung!
Zwischenfrage: Was ist eine Relationsgleichung?
(3)Untersuche ferner, ob die Funktionen auch an den Randpunkten der gegebenen Intervalle linksseitig bzw. rechtsseitig differenzierbar sind!
Funktion f: [mm] x^2=25-y^2; [/mm] x [mm] \in [/mm] [-5,0], y [mm] \in [/mm] [-5;0]
(1) So, des is leicht: f(x)= [mm] \wurzel{25-x^2}
[/mm]
(2) 1.)Differentieren mit Kettenregel sieht so aus:
[mm] \gdw [/mm] 2x=-2y*f'(x)
[mm] \gdw [/mm] f'(x)=2x/-2y
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x)=- [mm] \bruch{x}{y}
[/mm]
2.) Differenzieren durch implizites Differenzieren...häh?!...ich dachte das Differenzieren mit der Kettenregel wär implizites Differenzieren...
...Also meine erste Frage lautet: Wo ist der Unterschied zwischen Differenzieren mit Kettenregel und implizitem Differenzieren?
Was ich mir vorstellen kann, ist die Anwendung der Formel, die ich einmal per Zufall zum Thema implizites Differenzieren gefunden habe:
f'(x)=- [mm] \bruch{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} [/mm]
Weiß jemand wie diese Formel zustande kommt? Oder ist die einfach eine festgelegte Formel, die immer anzuwenden ist bei impliziten Funktionen?
Was sind dann aber [mm] F_x(x,y) [/mm] und [mm] F_y(x,y)? [/mm] Ist es:
[mm] F_x(x,y): [/mm] x= [mm] \wurzel{25-y^2} [/mm] und
[mm] F_y(x,y): [/mm] y= [mm] \wurzel{25-x^2}?
[/mm]
Also ist f'(x)=- [mm] \bruch{25-y^2}{25-x^2}?
[/mm]
In meiner mathematischen Frechheit würde ich jetzt mal in der Summe kürzen und die Wurzel ignorieren und es würde auch wie oben f'(x)=- [mm] \bruch{x}{y} [/mm] rauskommen. Könnte des vielleicht sogar richtig sein?
(3) So, damit komme ich jetzt gar nicht klar:
Randpunkte? Sind dann wohl -5 und 0.
linksseitig/rechtsseitig differenzierbar? Muss ich dann jetzt in die Ableitung Werte von x/y<-5/0 einsetzen, und dann gucken, ob was vernünftiges rauskommt? Also f'(-4)=- [mm] \bruch{-4}{-4} [/mm] =1 ...äh...und was sagt mir das jetzt?
Also, eigentlich habe ich gar keine Ahnung was ich da machen soll. Kann mir das einer erklären? bitte bitte [mm] \* [/mm] ganzliebdreinschau [mm] \*
[/mm]
So, das wär der erste Teil meiner Fragen (aber da ich jetzt zur Fahrschule muss [mm] \* [/mm] freu [mm] \* [/mm] werde ich meine anderen Fragen später stellen müssen.)
Würd mich riesig über'n bisschen Hilfe freuen!
Also bis dann!
Viele liebe Grüße
Eure Mayra
PS: sobalt ich diese nervige Facharbeit hinter mir habe, werde ich auch ganz fleißig Fragen im Forum beantworten, ganz ehrlich versprochen!!!
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Hallo,
beim impliziten Differenzieren hat man eine Funktion in der Gestalt F(x,y)=0 gegeben. Dabei ist y eine Funktion von x.
Hier hast Du ja
[mm]F(x,y)\; = \;0[/mm]
Nun ist y eine Funktion von x:
[mm]F(x,y(x))\; = \;0[/mm]
Es ist die Ableitung nach x gesucht.
Konkret:
[mm]F(x,y)\;:\;x^{2} \; + \;y^{2} \; - \;25\; = \;0[/mm]
Ist y eine Funktion von x:
[mm]F(x,y(x))\;:\;x^{2} \; + \;\left( {y(x)} \right)^{2} \; - \;25\; = \;0[/mm]
so gilt für die Ableitung:
[mm]\frac{d}
{{dx}}\;\left( {x^{2} \; + \;\left( {y(x)} \right)^{2} \; - \;25} \right)\; = \;0[/mm]
Also:
[mm]\frac{{\delta F(x,y(x))}}
{{\delta x}}\; + \;\frac{{\delta F(x,y(x))}}
{{\delta y}}\;\frac{{dy}}
{{dx}}\; = \;0[/mm]
Hier also:
[mm]2x\; + \;2y(x)\;\frac{{dy}}
{{dx}}\; = \;0 [/mm]
Ergo gilt:
[mm]\frac{{dy}}
{{dx}}\; = \; - \;\frac{x}
{{y(x)}}\; = \; - \;\frac{x}
{{\sqrt {25\; - \;x^{2} } }}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:07 Di 01.03.2005 | | Autor: | Mayra |
Danke! Das ist schon mal eine Erkenntnis mehr!
Aber was bedeutet
[mm] \frac{{\delta F(x,y(x))}} {{\delta x}}\; [/mm] + [mm] \;\frac{{\delta F(x,y(x))}} {{\delta y}}\;\frac{{dy}} {{dx}}\; [/mm] = [mm] \;0 [/mm]
?
Ist diese Information sehr wichtig für den weiteren Rechenweg, oder bloß so ne "Nebenbei-Anmerkungs-Definition" oder so?
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Hallo,
konkret:
Bei F(x,y(x))=0 leitet man das erste Argument nach x ab, und für das zweite Argument wendet man die Kettenregel an.
Durch Anwendung des Newtonverfahrens kann man in einer Umgebung lokal von [mm]x_{0}[/mm] die Funktion y(x) bestimmen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:37 Di 01.03.2005 | | Autor: | Mayra |
Guten Morgen noch mal!
Also, kommen wir zu meinen weiteren Unklarheiten:
Die Aufgabe lautet:
Durch die folgenden Relationsgleichungen und die hinzugefügten Bedingungen sind Funktionen festgelegt. Ferner sind Punkte [mm] P_k(x_k|y_k) [/mm] gegeben.
Ermittle, ohne die Funktionsgleichung y=f(x) zu bestimmen, die Gleichungen derjenigen Tangenten an die Graphen zu f, die durch die gegebenen Punkte [mm] P_k [/mm] führen!
f: [mm] y^2-8x=0 [/mm] ; [mm] x\ge0 [/mm] ; [mm] y\ge0;
[/mm]
Nun sollen die Gleichungen der Tangenten bestimmt werden, die durch die Punkte [mm] P_1(3|6), P_2(-1|-5), P_3(0|4) [/mm] gehen.
Wichtig: Die Punkte sind keine Elemente der Relationsgleichung, sondern nur der Tangenten! (So viel hab ich schon mal rausbekommen)
So, die Gleichung der Tangenten lautet y=mx+b,
wobei m=f'(x) sein muss.
Jetzt kann man zunächst die Ableitung der Funktion ermitteln:
[mm] y^2-8x=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2y*f'(x)-8=0
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x)= [mm] \bruch{8}{2y}
[/mm]
Also ist m= [mm] \bruch{8}{2y}
[/mm]
Jetzt könnte man theoretisch einsetzen:
y= [mm] \bruch{8}{2y}*x+b [/mm]
jetzt noch z.B. der Punkt [mm] P_1(3|6):
[/mm]
6= [mm] \bruch{8}{2y}*3+b
[/mm]
Man müsste eigentlich nur noch nach b auflösen und man hätte die Tangentengleichung. Das Problem ist aber, dass man in die Steigung m bzw. in die Ableitung f'(x)= [mm] \bruch{8}{2y} [/mm] nicht den Punkt [mm] P_1(3|6) [/mm] einsetzen darf, weil der nicht zur Funktion gehört. Ich glaube ich liege richtig in der Annahme, dass so ein Punkt zu beiden Funktionen, also zu der Tangentengleichung und zu f gehören muss. Kurz gesagt brauchen wir den Berührpunkt der beiden Funktionen.
Hier komme ich nicht weiter. Wie soll ich nun den Berührpunkt rausbekommen? Oder ist der ganze Ansatz überhaupt falsch? Gibt es noch andere Wege die Tangentengleichung rauszubekommen?
Ich habs mal ausprobiert in dem ich die beiden Gleichungen gleichgesetzt habe:
[mm] y_f^2-8x_f=mx_t+b-y_t [/mm] ( [mm] y_f/x_f [/mm] gehören zur Funktion, [mm] y_t/x_t [/mm] zur Tangente)
für m setze ich [mm] f'(x)=\bruch{8}{2y_f} [/mm] ein:
[mm] \gdw y_f^2-8x_f=\bruch{8}{2y_f}*x_t+b-y_t
[/mm]
für [mm] x_t [/mm] und [mm] y_t [/mm] setze ich den Punkt [mm] P_1(3|6) [/mm] ein:
[mm] \gdw y_f^2-8x_f=\bruch{8}{2y_f}*3+b-6
[/mm]
für b setze ich [mm] b=6-\bruch{12}{y_f} [/mm] ein: [mm] (\*1)
[/mm]
[mm] \gdw y_f^2-8x_f=\bruch{8}{2y_f}*3+(6-\bruch{12}{y_f})-6
[/mm]
[mm] [(\*1) y_t=mx_t+b \gdw b=y_t-mx_t \gdw b=y_t- \bruch{8}{2y_f}*x_t
[/mm]
[mm] \gdw b=6-\bruch{8}{2y_f}*3 \gdw b=6-\bruch{12}{y_f} [/mm] ]
Jetzt würde ich nur ein Stückchen weiter kommen, wenn ich eben doch die Gleichung f(x)=y bestimme, nämlich: [mm] y=\wurzel{8x}
[/mm]
Und da in einer impliziten Gleichung y eine Funktion von x ist (wie ich ja oben gelernt habe  ), gilt dann:
(y(x)=mx+b)
[mm] \gdw y(x)=\bruch{8}{2*y(x)}*x+(6-\bruch{12}{y(x)})
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{8x}=\bruch{4}{\wurzel{8x}}*x+(6-\bruch{12}{\wurzel{8x}}) [/mm] | [mm] *\wurzel{8x}
[/mm]
[mm] \gdw 2*\wurzel{8x}=4x+6*\wurzel{8x}-12
[/mm]
Wir haben jetzt nur noch die Variable x nach der aufzulösen ist.
Und wenn ich jetzt wüsste wie man so eine "Wurzel-Gleichung" auflösen muss, wär ich fertig. Aber davon hab ich nun echt keinen Plan! [mm] \*Hiilfe\*
[/mm]
Ich brauche Hilfe...ganz schnell... [mm] \*schmoll\*
[/mm]
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Hallo Mayra,
wie bekannt, ist
[mm]
\begin{gathered}
F(x,y) = 0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;y^{2} \; - 8x\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Nun gilt für die Tangentengleichung T(x,y) im Punkt [mm]
(\;x_{0} \;|\;y_{0} )[/mm]:
[mm]\begin{gathered}
T(x,y)\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \; - 4\;\left( {x\; - \;x_{0} } \right)\; + \;y_{0} \;\left( {y\; - \;y_{0} } \right)\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Da der Punkt [mm]P(x_{p} |\;y_{p} )\; \in \;T(x,y)[/mm] ist gilt:
[mm] - 4\;\left( {x_{p} \; - \;x_{0} } \right)\; + \;y_{0} \;\left( {y_{p} \; - \;y_{0} } \right)\; = \;0[/mm]
Der Punkt [mm](\;x_{0} \;|\;y_{0} )[/mm] erfüllt ja die Gleichung F(x,y)=0
Ergo gilt:
[mm]y_{0}^{2} \; - 8x_{0} \; = \;0[/mm]
Dies ist aber eine Gleichung in 2 Unbekannten. Um diese Gleichung zu einer Gleichung in einer Unbekannten zu machen, ist dann [mm]x_{0}[/mm] als Funktion von [mm]y_{0}[/mm], [mm]x_{p}[/mm] und [mm]y_{p}[/mm] darzustellen. was durch Umformen der vorletzten Gleichung erfolgt.
Das Ergebnis wird dann in die Funktionsgleichung eingesetzt und liefert dann eine quadratische Gleichung für [mm]y_{0}[/mm].
Gruß
MathePower
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