Implizit ableiten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Do 17.01.2013 | | Autor: | Lewser |
| Aufgabe | | Bilden Sie implizit die 2. Ableitung von [mm] y^2-x=0 [/mm] |
Mein Ansatz:
[mm] y'=-\bruch{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}
[/mm]
[mm] F_{x}(x,y)=-1 F_{y}(x,y)=2y
[/mm]
[mm] \rightarrow y'=\bruch{1}{2y}
[/mm]
Aber wenn ich jetzt erneut ableite bekomme ich doch Null heraus. Was habe ich übersehen/ wo habe ich mich verrechnet?
|
|
| |
|
Hallo,
deinen Ansatz verstehe ich zwar nicht so ganz, aber die erste Ableitung habe ich genauso wie du.
> Aber wenn ich jetzt erneut ableite bekomme ich doch Null
> heraus. Was habe ich übersehen/ wo habe ich mich
> verrechnet?
Das ist das Problem an dem 'Aufgaben-in Formeln-stopfen', dann hat man zwar ein Strickmuster, aber man weiß nicht genau, was die Formel tut.
Es geht nach wie vor um eine Funktion vom Typ y=f(x). Die unabhängige Variable ist also x und y ist von x abhängig. Daher fällt da beim weiteren Ableiten nichts weg, sondern es muss die Kettenregel (die irgendwie in deinem Formalsimus auch mit drinsteckt) angewendet werden.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Do 17.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal die erste Ableitung vor. Wir schreiben etwas genauer
[mm] y(x)^2-x=0
[/mm]
Jetzt differenzieren wir (Kettenregel !):
2y(x)*y'(x)-1=0.
Jetzt Du.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Do 17.01.2013 | | Autor: | Lewser |
[mm] y'=(2y)^{-1}
[/mm]
[mm] y''=2*y'*(-1)*(2y)^{-2}
[/mm]
mit y': [mm] y''=-\bruch{2}{2y}*\bruch{1}{4y^2}=-\bruch{1}{4y^3}
[/mm]
Ist das korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Do 17.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y'=(2y)^{-1}[/mm]
>
> [mm]y''=2*y'*(-1)*(2y)^{-2}[/mm]
>
> mit y':
> [mm]y''=-\bruch{2}{2y}*\bruch{1}{4y^2}=-\bruch{1}{4y^3}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
nein. Was hast Du da gerechnet ????
Edit: es ist korrekt
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Do 17.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Die erste Ableitung mit der Kettenregel abgeleitet und die erste Ableitung für y' eingesetzt. Dann gekürzt und den Nenner ausmultipliziert.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Die erste Ableitung mit der Kettenregel abgeleitet und die
> erste Ableitung für y' eingesetzt. Dann gekürzt und den
> Nenner ausmultipliziert.
Deine Rechnung und dein Ergebnis sind richtig, die Rechnung ist halt noch ein wenig umständlich. Wenn man die Quotientenregel verwendet, sieht das so aus:
[mm] y''=\bruch{-2y'}{(2y)^2}=-\bruch{y'}{2y^2}=-\bruch{1}{4y^3}
[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo Diophant,
Das Ganze geht doch nur, wenn $y [mm] \neq [/mm] 0$ ist, sonst kannst du nicht so explizit nach $y'$ auflösen.
Wenn man in der expl. 1. Ableitung, also in $2yy'-1=0$ nochmal explizit ableitet, kommt man auf
[mm] $2[(y')^2+yy'']=0$, [/mm] was für [mm] $y\neq [/mm] 0$ "eurem" Ergebnis entspricht ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Do 17.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Diophant,
>
> Das Ganze geht doch nur, wenn [mm]y \neq 0[/mm] ist, sonst kannst du
> nicht so explizit nach [mm]y'[/mm] auflösen.
>
> Wenn man in der expl. 1. Ableitung, also in [mm]2yy'-1=0[/mm]
> nochmal explizit ableitet, kommt man auf
>
> [mm]2[(y')^2+yy'']=0[/mm], was für [mm]y\neq 0[/mm] "eurem" Ergebnis
> entspricht ...
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Hallo schachuzipus,
Aus [mm] y(x)^2=x [/mm] folgt, dass y genau in x=0 eine Nullstell hat.
In x=0 ist y aber nicht differenzierbar, denn anderenfalls hätten wir
(*) $ 2y(x)y'(x)=1 $
auch für x=0, dann wäre aber y(0) [mm] \ne [/mm] 0.
Aus (*) folgt, dass y(x) [mm] \ne [/mm] 0 ist in jedem x indem y differenzierbar ist.
Gruß FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 10:56 Do 17.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
was hast du für einen Fehler in Lewsers Rechnung entdeckt? Das Ergebnis stimmt und ich kann auch keinen Fehler in der Rechnung entdecken.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
