Implizite DLGs: Auflösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 So 19.09.2010 | | Autor: | Blueman |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zur Auflösung impliziter DGLs der Form F(x,y(x),y'(x)) = 0.
Wir haben Linienelemente (x, y(x), y'(x)) = (x, y,p) definiert. Ein Linienelement heißt regulär wenn es in einer Umgebung von (x,y,p) eine Auflösung p = f(x,y) gibt.
Nach dem Satz über implizite Funktionen gilt: Ein Linienelement ist regulär wenn es eine Umgebung von (x,y,p) gibt in der gilt: F stetig, F(x,y,p) = 0 und [mm] F_{p}(x,y,p) \not= [/mm] 0. Dies habe ich mir versucht an einem Beispiel zu veranschaulichen und komme nicht weiter:
z.b. die DGL [mm] 4x^2 [/mm] - [mm] (y')^2 [/mm] = 0.
Also F(x,y,p) = [mm] 4x^2 [/mm] - [mm] p^2 [/mm] und somit [mm] F_{p} [/mm] = [mm] -2p^2
[/mm]
Demnach müssten alle Linienelemente mit p [mm] \not= [/mm] 0 regulär sein. Aber was soll die Auflösung sein? Klar, [mm] p^2 [/mm] = [mm] 4x^2 \Rightarrow [/mm] p = [mm] \pm [/mm] 2 |x|.
Aber das ist doch gar keine "richtige " Funktion aufgrund des [mm] \pm [/mm] oder? Denn für jedes x kommen ja 2 Werte raus. Egal welche Umgebungen man jetzt für das x wählt, oder? Nur für x = 0 wäre die Auflösung eindeutig.
Also irgendwie habe ich jetzt bei dem Beispiel genau das Gegenteil davon raus, was der Satz sagt. Denn demnach sollten ja für p [mm] \not= [/mm] 0 alle Linienelemente regulär sein.
Kann mir jemand erklären, was ich falsch mache? Wäre toll.
Viele Grüße,
Blueman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:18 Mo 20.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast nicht eine Fkt [mm] p=\pmx [/mm] sondern 2 moegliche fkt p=x oder p=-x beide regulaer . zu gegebenem Anfangswert hast du dann nur eine Loesung.ausser fuer y(0)=0
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Blueman |
OK danke! Die Auflösung muss also erstmal nicht eindeutig sein! Alles klar. :)
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