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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Snowside |
| Aufgabe | | An die Kurve mit der Gleichung [mm] e^{y} sin(x)-e^{x} cos(y)-\wurzel{2} e^{x} [/mm] = 0 soll im Punkt [mm] (\bruch{\pi}{4}|\bruch{\pi}{4}) [/mm] eine Tangente angelegt werden. Berechnen sie die Gleichung y=mx+b der Tangente. |
Moin Moin
Ich dachte mir, dass ich das mit der Methode unter der Verwendung partieller Ableitung löse. Die Formel dazu sieht wie ja bekanntlich so aus:
y' = - [mm] \bruch{F_{x}(x;y)}{F_{y}(x;y)}
[/mm]
Also Leite ich das ganze einmal nach x und einmal nach y ab.
Wie muss ich zb. bei der Ableitung nach x das [mm] e^{y} [/mm] sin(x) behandeln? Fällt das [mm] e^{y} [/mm] einfach weg und es ergibt sich cos(x)?
Die gleiche Frage bei dem [mm] \wurzel{2} e^{x}. [/mm] Wenn ich das nach x ableite, sollte doch durch die Faktorregel die [mm] \wurzel{2} e^{x} [/mm] stehen bleiben und wenn ich es nach y ableite, sollte der ganze Teil wegfallen?
Stimmt das soweit?
Danke und Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nach meiner Rechnung liegt der angegebene Punkt gar
nicht auf der Kurve !
Von einem Punkt ausserhalb der Kurve Tangenten an
diese implizit definierte Kurve zu bestimmen, dürfte
schwierig werden ...
Ferner: nach einem Versuch, die Kurve mittels Wolfram
zu ![[]](/images/popup.gif) plotten , scheint es sich bei der Kurve um ein
ziemlich exotisches Monster zu handeln.
Tipp: Kontrolliere bitte zuerst die Daten.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Snowside |
Die Aufgabe ist richtig abgeschrieben. Ich hab es nun ein paar mal überprüft. Es handelt sich um eine 3 Jahre alte Klausur von unserem Mathematik Professor.
Edit: Ich hab mal ein Foto gemacht und es hochgeladen.
http://img251.imageshack.us/img251/2223/imag0026t.jpg
So wie ich das sehe, hab ich die Funktion richtig abgetippt. :/
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Ich denke trotzdem, dass da ein Fehler ist, und zwar sehr
wahrscheinlich ein hundskommuner Vorzeichenfehler. Nimmt
man nämlich als Kurvengleichung nicht
$ [mm] e^{y} sin(x)-e^{x} cos(y)-\wurzel{2} e^{x}\ [/mm] =\ 0 $
sondern
$ [mm] e^{y} sin(x)+e^{x} cos(y)-\wurzel{2} e^{x}\ [/mm] =\ 0 $
dann erfüllt - schwupps - der vorgegebene Punkt die Gleichung !
LG
Sherlock-al-Chwarizmi
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Ja, richtig abgeschrieben hast du das. Aber vergiss nicht:
auch Professoren der Mathematik machen hie und da Fehler ... 
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Hallop Snowside,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> An die Kurve mit der Gleichung [mm]e^{y} sin(x)-e^{x} cos(y)-\wurzel{2} e^{x}[/mm]
> = 0 soll im Punkt [mm](\bruch{\pi}{4}|\bruch{\pi}{4})[/mm] eine
> Tangente angelegt werden. Berechnen sie die Gleichung
> y=mx+b der Tangente.
Wenn die Gleichung so lautet:
[mm]e^{y} sin(x)\blue{+}e^{x} cos(y)-\wurzel{2} e^{x} = 0 [/mm]
, dann liegt der angegebene Punkt auf dieser Kurve.
> Moin Moin
>
> Ich dachte mir, dass ich das mit der Methode unter der
> Verwendung partieller Ableitung löse. Die Formel dazu
> sieht wie ja bekanntlich so aus:
>
> y' = - [mm]\bruch{F_{x}(x;y)}{F_{y}(x;y)}[/mm]
>
> Also Leite ich das ganze einmal nach x und einmal nach y
> ab.
>
> Wie muss ich zb. bei der Ableitung nach x das [mm]e^{y}[/mm] sin(x)
> behandeln? Fällt das [mm]e^{y}[/mm] einfach weg und es ergibt sich
> cos(x)?
Die Ausdrücke in y sind bei der Ableitung nach x
wie eine Konstante zu behandeln.
Demnach gilt:
[mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left( \ e^{y}*\sin\left(x\right) \ \right)=e^{y}*\cos\left(x\right)[/mm]
>
> Die gleiche Frage bei dem [mm]\wurzel{2} e^{x}.[/mm] Wenn ich das
> nach x ableite, sollte doch durch die Faktorregel die
> [mm]\wurzel{2} e^{x}[/mm] stehen bleiben und wenn ich es nach y
> ableite, sollte der ganze Teil wegfallen?
Das ist richtig.
>
> Stimmt das soweit?
>
> Danke und Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Hallo Snowside,
(korrigierte Kurvengleichung vorausgesetzt !)
ich vermute, dass der Punkt ein singulärer Punkt der Kurve ist,
nämlich eine Art Spitze mit (einseitiger) Tangente parallel zur
y-Achse. Insbesondere gibt es wohl in einer kleinen 2D-Umgebung
des Punktes keinen Kurvenpunkt mit [mm] y<\pi/4 [/mm] .
(aber wie zeigt man das ? ...)
LG Al-Chw.
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Hallo Snowside,
> An die Kurve mit der Gleichung [mm]e^{y} sin(x)-e^{x} cos(y)-\wurzel{2} e^{x}[/mm]
> = 0 soll im Punkt [mm](\bruch{\pi}{4}|\bruch{\pi}{4})[/mm] eine
> Tangente angelegt werden. Berechnen sie die Gleichung
> y=mx+b der Tangente.
Wenn x=y ist, dann ist obige Gleichung erfüllt für
[mm]x=y=\bruch{3}{4}*\pi+2*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
Demnach muß es der Punkt
[mm](\bruch{3\pi}{4}|\bruch{3\pi}{4})[/mm]
sein.
>
> Danke und Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 So 19.09.2010 | | Autor: | Snowside |
| Aufgabe | | Ableitung von [mm] e^{y} sin(x)-e^{x} cos(y)-\wurzel{2} e^{x} [/mm] |
Guten Morgen
Ich hab mich grade nach euren Tipps an die weitere Lösung der Aufgabe gesetzt.
Wenn ich das richtig verstanden hab, dann müsste die Ableitung wie folgt aussehen:
y'= - [mm] \bruch{e^{y} cos(x)+e^{x} cos(y)-\wurzel{2} e^{x}}{e^{y} sin(x)-e^{x} sin(y)}
[/mm]
Von einer Aufgabe davor, ist mir bekannt, dass ich nun den Punkt eigentlich dort einsetzen kann und das y' dann quasi mein m ergibt. Wenn ich das mache, kommt allerdings 0 raus. Ist meine Ableitung falsch oder handelt es sich um eine Waagerechte Tangente?
@MathePower: Deinen Beitrag versteh ich nicht so recht. Ist neben der Funktion etwa auch noch der gegebene Punkt falsch? Wenn ich den gegebenen Punkt in die Gleichung einsetze, dann ist die Gleichung doch auch erfüllt, weil 0 rauskommt, oder etwa nicht? :(
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo ihr beiden,
ich denke mir, dass als Schreib- oder Abschreibfehler ein
Vorzeichenfehler, also
$\ \red{-} $ anstatt $\ \blue{+}$
sehr viel wahrscheinlicher ist als ein Fehler wie
$\ \red{P\left(\frac{\pi}{4}\,\right|\,\left\frac{\pi}{4}\right)}$ anstatt $\ \blue{P\left(\frac{3\,\pi}{4}\,\right|\,\left\frac{3\,\pi}{4}\right)}$
Ich würde deshalb klar bei der Variante mit dem korrigierten
Vorzeichen in der Kurvengleichung und mit dem Punkt
$\ P\left(\frac{\pi}{4}\,\right|\,\left\frac{\pi}{4}\right)$ bleiben !
Im übrigen sind die in beiden (auf unterschiedliche Weise
"geflickten") Fällen untersuchten Stellen inhaltlich im Wesent-
lichen wohl absolut analog.
Machen wir's also nicht komplizierter als nötig !
LG Al-Chw.
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Nehmen wir also die Kurve k mit der Gleichung
[mm]e^{y} sin(x)+e^{x} cos(y)-\wurzel{2}\ e^{x}\ =\ 0[/mm]
und den Punkt
[mm]P\left(\bruch{\pi}{4}\,\right|\left\bruch{\pi}{4}\,\right)[/mm]
> Ich dachte mir, dass ich das mit der Methode unter der
> Verwendung partieller Ableitung löse. Die Formel dazu
> sieht wie ja bekanntlich so aus:
>
> y' = - [mm]\bruch{F_{x}(x;y)}{F_{y}(x;y)}[/mm] (***)
>
> Also Leite ich das ganze einmal nach x und einmal nach y
> ab.
Ja. Mit [mm] F_x [/mm] ist dabei die partielle Ableitung von F(x,y) nach x
gemeint. Dabei betrachtet man y (und alle nur von y und nicht
von x abhängigen Terme) als Konstanten.
Es stellt sich heraus, dass im Punkt P sowohl [mm] F_x [/mm] als auch [mm] F_y
[/mm]
verschwinden. Dies bedeutet, dass P jedenfalls ein singulärer
Punkt der Kurve k ist. Die Berechnung einer Tangentensteigung
nach der Formel (***) versagt jedenfalls wegen der Division
Null durch Null, die dazu nötig wäre.
Nun müsste man also wohl die Art der vorliegenden Singularität
(z.B. Doppelpunkt oder Spitze) untersuchen. Ich weiß aber nicht,
welche Hilfsmittel dir dazu allenfalls zur Verfügung stehen. In
Frage käme allenfalls eine Annäherung der Kurvengleichung in
der Umgebung von P durch eine Taylorpolynomkurve.
Diese algebraische Kurve (beschrieben in einem in P zentrierten
Hilfskoordinatensystem) könnte man dann weiter analysieren.
LG Al-Chw.
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