Implizite Differentiation < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Differenzieren:
-logarithmisch: [mm] f(x)=x^{sin(x^2)}
[/mm]
-implizit: [mm] F(x,y)=sin(xy^2) [/mm] - [mm] x^2 [/mm] * tan(xy) = 0 |
Hallo,
Ich wieder!
Hab bei der ersten, logaritmischen folgendes rausbekommen:
f(x)= [mm] x^{sin(x^2)}
[/mm]
ln(f(x)) = ln(x) * [mm] sin(x^2)
[/mm]
[mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] = [mm] \bruch{sin(x^2)}{x} [/mm] + ln(x) * [mm] sin(x^2) [/mm] * 2x
f'(x)= [mm] (\bruch{sin(x^2)}{x} [/mm] + ln(x) * [mm] sin(x^2) [/mm] * 2x) * f(x)
f'(x)= [mm] (\bruch{sin(x^2)}{x} [/mm] + ln(x) * [mm] sin(x^2) [/mm] * 2x) * [mm] x^{sin(x^2)}
[/mm]
Ist das richtig ?
Und bei der impliziten Differentiation weiss ich nicht richtig wie das geht! Ich soll ja nach y' umrechnen? Aber wie? Könnte das mir evtl jemand bitte erklären ?
lG
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Hallo,
> Differenzieren:
> -logarithmisch: [mm]f(x)=x^{sin(x^2)}[/mm]
> -implizit: [mm]F(x,y)=sin(xy^2)[/mm] - [mm]x^2[/mm] * tan(xy) = 0
> Hallo,
>
> Ich wieder!
>
> Hab bei der ersten, logaritmischen folgendes rausbekommen:
> f(x)= [mm]x^{sin(x^2)}[/mm]
> ln(f(x)) = ln(x) * [mm]sin(x^2)[/mm]
> [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] = [mm]\bruch{sin(x^2)}{x}[/mm] + ln(x) *
> [mm]sin(x^2)[/mm] * 2x
> f'(x)= [mm](\bruch{sin(x^2)}{x}[/mm] + ln(x) * [mm]sin(x^2)[/mm] * 2x) *
> f(x)
> f'(x)= [mm](\bruch{sin(x^2)}{x}[/mm] + ln(x) * [mm]sin(x^2)[/mm] * 2x) *
> [mm][mm] x^{sin(x^2)}
[/mm]
Ist das richtig ?
Naja, irgendwo sollte doch aber schon der Kosinus auftauchen. Hast du dich eventuell nur verschrieben?
Mal nebenbei noch ein Tipp: Wenn du nicht so viel Platz bei den Formeln lässt, dann wird alles sauber umgewandelt und die gesamte Gleichung wird in Latex umgewandelt.
> Und bei der impliziten Differentiation weiss ich nicht richtig wie das geht!
> Ich soll ja nach y' umrechnen? Aber wie? Könnte das mir evtl jemand
> bitte erklären ?
Ja, da müssen wir erst einmal klären, was das überhaupt bedeutet.
Wir haben F(x,y(x)) gegeben. Das heißt also, dass das y selbst eine Funktion von x ist.
Ganz einfaches Beispiel wäre dies: $F(x,y(x))=y(x)=0$
Dann wäre $F'(x,y(x))=y'(x)=0$
Jetzt mal etwas schwerer: [mm] \frac{d}{dx}y(x)^2=2y(x)*y'(x)
[/mm]
Du musst hier also an die Kettenregel denken! Damit du das eventuell auch einsiehst, kann man auch also Beispiel ruhig einmal [mm] y(x)=\sin{x} [/mm] setzen. Dann hast du:
[mm] \frac{d}{dx}\sin^2{x}=2y(x)*y'(x)=2\sin{x}*\cos{x} [/mm] (stimmt erschreckenderweise  )
Nun hast du eben: [mm] F(x,y)=\sin(xy(x)^2)-x^2*\tan(xy(x))=0 [/mm] zu differenzieren.
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Hallo,
Also x,y sind ja nur zwei variablen, denn ich kenne dass y=f(x) ist. Das wäre dann hier eine rekursive Funktion.
Zurück zum Thema:
Sollte ich denn jetzt "etwas" für y(x) einsetzen oder wie ?
Habe das noch immer nicht ganz verstanden!
Dass bei deinem Beispiel wir als y(x)= sinx einsetzen mussten war ja keine Schwierigkeit. Aber wie soll ich jetzt vorgehen?
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Hallo,
> Hallo,
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> Also x,y sind ja nur zwei variablen, denn ich kenne dass
> y=f(x) ist. Das wäre dann hier eine rekursive Funktion.
Bitte?
Es muss y(x) sein, andernfalls würde die Aufgabe wenig Sinn ergeben.
>
> Zurück zum Thema:
> Sollte ich denn jetzt "etwas" für y(x) einsetzen oder wie
> ?
Nein, sondern implizit ableiten. Ein Beispiel habe ich dir gegeben.
> Habe das noch immer nicht ganz verstanden!
> Dass bei deinem Beispiel wir als y(x)= sinx einsetzen
> mussten war ja keine Schwierigkeit. Aber wie soll ich jetzt
> vorgehen?
Differenzieren. Ich hab extra noch einmal die x-Abhängigkeit von y direkt dargestellt.
Es ist $F(x,y(x))$ - differenziere dies nach x.
Vielleicht mal etwas anders:
Wie du eine Funktion y(x) differenzierst ist dir ja klar. Zum Beispiel: [mm] y(x)=x^2\Rightarrow [/mm] y'(x)=2x
So, nun haben wir irgendeine differenzierbare Funktion y(x). Wir wissen aber absolut nicht, wie die ausschaut. Das möge uns auch nicht interessieren.
Nun basteln wir uns eine neue Funktion [mm] F(x,y)=F(x,y(x))=y(x)^2*x^{-1}
[/mm]
Nun leiten wir normal nach der Produktregel ab:
[mm] u=y(x)^2 \Rightarrow{}u'=2y(x)y'(x)
[/mm]
[mm] v=x^{-1}\Rightarrow v'=-x^{-2}
[/mm]
[mm] F'(x,y(x))=u'v+uv'=2y(x)y'(x)x^{-1}-y(x)^2x^{-2}=\frac{2yy'}{x}-\frax{y^2}{x^{-2}}
[/mm]
So, das war nun ein weiteres Beispiel. Jetzt bist du dran.
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So..
[mm] F(x,y(x))=sin(xy^2)-x^2*tan(xy)=0
[/mm]
[mm] u=sin(xy^2)
[/mm]
[mm] u'=cos(xy^2)*y^2
[/mm]
[mm] v=x^2*tan(xy)
[/mm]
[mm] v'=2x*tan(xy)+\bruch{1}{cos^2(xy)}
[/mm]
Beim v' bin ich mir zimlich unsicher
Aber das wäre dann:
F'(x,y(x))=u'-v'
[mm] F'(x,y(x))=cos(xy^2)*y^2-(2x*tan(xy)+\bruch{1}{cos^2(xy)})
[/mm]
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Hallo,
> So..
> [mm]F(x,y(x))=sin(xy^2)-x^2*tan(xy)=0[/mm]
> [mm]u=sin(xy^2)[/mm]
> [mm]u'=cos(xy^2)*y^2[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du musst schon die Kettenregel (und Produktregel) verwenden.
Was ist [mm]\frac{d}{dx}\left(xy^2\right)[/mm] ?
Beachte [mm]xy^2=x\cdot{}(y(x))^2[/mm] ...
>
> [mm]v=x^2*tan(xy)[/mm]
> [mm]v'=2x*tan(xy)+\bruch{1}{cos^2(xy)}[/mm]
> Beim v' bin ich mir zimlich unsicher
Zurecht, es ist nämlich falsch. Was ist mit der inneren Ableitung von [mm]\tan(xy)[/mm]?
[mm]\frac{d}{dx}\left(xy(x)\right)=1\cdot{}y(x)+x\cdot{}y'(x)[/mm] (Produktregel)
>
> Aber das wäre dann:
> F'(x,y(x))=u'-v'
> [mm]F'(x,y(x))=cos(xy^2)*y^2-(2x*tan(xy)+\bruch{1}{cos^2(xy)})[/mm]
>
Gruß
schachuzipus
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> Hallo,
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> > So..
> > [mm]F(x,y(x))=sin(xy^2)-x^2*tan(xy)=0[/mm]
> > [mm]u=sin(xy^2)[/mm]
> > [mm]u'=cos(xy^2)*y^2[/mm]
>
> Du musst schon die Kettenregel (und Produktregel)
> verwenden.
Also laut Wolframalpha ist das richtig. Aber ich denke der Fehler liegt dann darin dass x*y ja auch noch mit der produktregel abgeleitet werden muss..
-->So hab nochmal probiert..Diesmal müsste es richtig sein:
[mm] u=sin(xy^2)
[/mm]
[mm] v=cos(xy^2)*(y^2+x2y)
[/mm]
> > [mm]v=x^2*tan(xy)[/mm]
> > [mm]v'=2x*tan(xy)+\bruch{1}{cos^2(xy)}[/mm]
> > Beim v' bin ich mir zimlich unsicher
>
> Zurecht, es ist nämlich falsch. Was ist mit der inneren
> Ableitung von [mm]\tan(xy)[/mm]?
Okay! Nochmal:
[mm] v=x^2*tan(xy)
[/mm]
[mm] v'=2x*tan(xy)+x^2*\bruch{1}{cos^2(xy)}*(x+y)
[/mm]
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Nein nein nein nein nein!
Du scheinst ja alles zu missachten, was man dir hier sagt!
Jetzt lies dir mal die Beiträge durch.
WolframAlpha kann nur das berechnen, was man auch richtig eingibt!
Zum eintausendsten mal: Es ist y=y(x) !!! Es besteht eine Abhängigkeit zwischen y und x!
Ich habe dir zwei Beispiele geliefert, in der vorherigen Antwort hat sogar Schachu noch ein Beispiel geliefert.
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[mm] u=sin(xy^2)
[/mm]
[mm] u'=cos(xy^2)*(y^2+x*2yy')
[/mm]
[mm] v=x^2*tan(xy)
[/mm]
[mm] v'=2x*tan(xy)+x^2*\bruch{x+yy'}{cos^2(xy)}
[/mm]
F'(x,y(x))=u'-v'
[mm] F'(x,y(x))=cos(xy^2)*(y^2+x*2yy')-(2x*tan(xy)+x^2*\bruch{x+yy'}{cos^2(xy)}
[/mm]
Jetzt aber ? :)
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Hallo elektroalgebra93,
> [mm]u=sin(xy^2)[/mm]
> [mm]u'=cos(xy^2)*(y^2+x*2yy')[/mm]
>
> [mm]v=x^2*tan(xy)[/mm]
> [mm]v'=2x*tan(xy)+x^2*\bruch{x+yy'}{cos^2(xy)}[/mm]
>
Der Zähler des zweiten Summanden stimmt noch nicht.
> F'(x,y(x))=u'-v'
>
> [mm]F'(x,y(x))=cos(xy^2)*(y^2+x*2yy')-(2x*tan(xy)+x^2*\bruch{x+yy'}{cos^2(xy)}[/mm]
>
> Jetzt aber ? :)
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Mi 19.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Allgemein: wenn Du eine differenzierbare Funktion F von 2 Variablen x und y hast und wenn Dir bekannt ist, dass durch die Gleichung
F(x,y)=0
implizit eine differenzierbare Funktion y def. wird, dass also auf einem Intervall I in [mm] \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion y:I [mm] \to \IR [/mm] mit
F(x,y(x))=0 für alle x [mm] \in [/mm] I
def. wird, so liefert die mehrdimensionale Kettenregel:
[mm] F_x(x,y(x))+F_y(x,y(x))*y'(x)=0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] I.
FRED
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> def. wird, so liefert die mehrdimensionale Kettenregel:
>
> [mm]F_x(x,y(x))+F_y(x,y(x))*y'(x)=0[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] I.
Also einmal die Funktion in abhängigkeit von Fx(x,y(x)) und einem von Fy(x,y(x)) ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mi 19.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > def. wird, so liefert die mehrdimensionale Kettenregel:
> >
> > [mm]F_x(x,y(x))+F_y(x,y(x))*y'(x)=0[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] I.
>
>
> Also einmal die Funktion in abhängigkeit von Fx(x,y(x))
> und einem von Fy(x,y(x)) ?
Was meinst Du damit ??? [mm] F_x [/mm] und [mm] F_y [/mm] sind partielle Ableitungen.
FRED
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Könntest du das eventuell an einem anderen Beispiel zeigen bitte?
lG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Mi 19.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Könntest du das eventuell an einem anderen Beispiel zeigen
> bitte?
nimm' doch (siehe https://matheraum.de/read?i=1010894)
[mm] $F(x,y(x)):=\frac{y^2(x)}{x}\,.$
[/mm]
Es ist
[mm] $F_x(x,y)=\frac{-y^2}{x^2}$
[/mm]
und
[mm] $F_y(x,y)=\frac{2y}{x}\,.$
[/mm]
Also
[mm] $F'(x,y(x))=\frac{-y^2(x)}{x^2}+\frac{2y(x)}{x}*y'(x).$
[/mm]
Das ist auch Richies Ergebnis (er hat sich nur vertippt: Anstatt
[mm] $y^2x^2$
[/mm]
meinte er
[mm] $y^2 x^{\red{\text{-- }}2}.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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