Implizite Differentiation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Gleichung [mm] z^{3}+z+xy-1=0
[/mm]
hat für jedes Paar [mm] (x,y)\in\IR^{2} [/mm] genau eine reelle Lösung z=g(x,y).
Begründen Sie diesen Sachverhalt und zeigen Sie:
[mm] g:\IR^{2}\to\IR [/mm] ist differenzierbar und berechnen Sie die Ableitung von g am Punkt (1,1). |
Hallo,
Ich weiß einfach nicht wie g jetzt aussehen soll.
Wäre schön, wenn mir da einer weiter helfen könnte.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Gleichung [mm]z^{3}+z+xy-1=0[/mm]
> hat für jedes Paar [mm](x,y)\in\IR^{2}[/mm] genau eine reelle
> Lösung z=g(x,y).
> (1.) Begründen Sie diesen Sachverhalt
> (2.) Zeigen Sie: [mm]g:\IR^{2}\to\IR[/mm] ist differenzierbar
> (3.) Berechnen Sie die Ableitung von g am Punkt (1,1).
> Ich weiß einfach nicht wie g jetzt aussehen soll.
Hallo taky-teasy 
es wird hier nicht verlangt, dass du für g(x,y) eine
explizite Formel aufstellst - dies wäre zwar auch
möglich, aber etwas umständlich.
Du musst für (1.) nur zeigen, dass für ein gegebenes
Zahlenpaar [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] der Wert z eindeutig
feststeht.
Seien also [mm] x,y\in\IR. [/mm] Betrachte nun die Funktion
[mm] f(z):=z^3+z+c [/mm] wobei $\ c:=x*y-1$
Nun ist wichtig, dass du dir, am besten durch
Betrachtung der Ableitungsfunktion $\ f'(z)$ klar
machst, welche generellen Eigenschaften diese
Funktion hat.
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
aber weiter soll ich doch zeigen, dass g diffbar ist. Kann ich dann einfach von der Gleichung [mm] z^3+z+xy-1=0 [/mm] die partiellen Ableitungen nach x und y bilden, zeigen dass diese stetig sind und damit dann, dass g diffbar ist?
Liebe Grüße
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> Hallo Al-Chwarizmi,
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> aber weiter soll ich doch zeigen, dass g diffbar ist. Kann
> ich dann einfach von der Gleichung [mm]z^3+z+xy-1=0[/mm] die
> partiellen Ableitungen nach x und y bilden, zeigen dass
> diese stetig sind und damit dann, dass g diffbar ist?
>
> Liebe Grüße
Hallo takeiteasy,
im Prinzip ja. Beachte aber dabei, dass nun z als Funktion
von y betrachtet werden muss und dass du zum Ableiten
auch die Kettenregel brauchst. Zeigen muss man, dass
[mm] \bruch{\partial{z}}{\partial{x}} [/mm] und [mm] \bruch{\partial{z}}{\partial{y}} [/mm] stetige Funktionen von (x,y) sind.
LG Al-Chw.
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Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstanden habe.
Wenn ich also die Kettenregel anwende, dann gilt
F(x,y,g(x,y))=0
[mm] F_{x}+F_{y}*g'=0
[/mm]
wobei [mm] F_{x} [/mm] und [mm] F_{y} [/mm] die partiellen Abl sind.
Dann ist [mm] g'=-x\y
[/mm]
Hattest du das so gemeint?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Mi 24.06.2009 | | Autor: | takeiteasy |
Ich meine [mm] g'=-\bruch{x}{y}
[/mm]
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> Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstanden
> habe.
> Wenn ich also die Kettenregel anwende, dann gilt
>
> F(x,y,g(x,y))=0
> [mm]F_{x}+F_{y}*g'=0[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> wobei [mm]F_{x}[/mm] und [mm]F_{y}[/mm] die partiellen Abl sind.
>
> Dann ist [mm]g'=-x\y[/mm]
>
> Hattest du das so gemeint? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Die Gleichung, durch welche z implizit definiert ist,
lautet:
[mm] z^3+z+x*y-1=0
[/mm]
Die muss nun partiell nach x und nach y abgeleitet
werden. Ich schreibe die partiellen Ableitungen jetzt
als [mm] z_x [/mm] und [mm] z_y [/mm] (statt mit der [mm] \partial [/mm] - Schreibweise)
Ableiten nach x ergibt die Gleichung:
[mm] 3*z^2*z_x+z_x+y=0
[/mm]
Diese Gleichung kann man nun nach der gesuchten
partiellen Ableitung [mm] z_x [/mm] auflösen:
[mm] $\bruch{\partial{z}}{\partial{x}}\ [/mm] =\ [mm] z_x\ [/mm] =\ [mm] \bruch{-\,y}{.......}$
[/mm]
Analog geht es für [mm] z_y [/mm] .
LG
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Oh, ich verstehe.
Dann ist [mm] z_{x}=\bruch{-y}{3z^{2}+1}.
[/mm]
Ich zeige dann, dass [mm] z_{x} [/mm] stetig ist. Das gleiche für [mm] z_{y} [/mm] und dann ist g diffbar.
Und für die Ableitung von g an (1,1) setze ich den Punkt dann einfach ein.
Richtig so?
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Hallo takeiteasy,
> Oh, ich verstehe.
> Dann ist [mm]z_{x}=\bruch{-y}{3z^{2}+1}.[/mm]
> Ich zeige dann, dass [mm]z_{x}[/mm] stetig ist. Das gleiche für
> [mm]z_{y}[/mm] und dann ist g diffbar.
Nun, wenn die partiellen Ableitungen [mm]z_{x}, z_{y}[/mm] stetig sind,
dann ist z bzw. g sogar partiell stetig differenzierbar.
>
> Und für die Ableitung von g an (1,1) setze ich den Punkt
> dann einfach ein.
>
> Richtig so?
Ja.
Gruß
MathePower
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> Hallo takeiteasy,
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> > Oh, ich verstehe.
> > Dann ist [mm]z_{x}=\bruch{-y}{3z^{2}+1}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Ich zeige dann, dass [mm]z_{x}[/mm] stetig ist. Das gleiche für
> > [mm]z_{y}[/mm] und dann ist g diffbar.
>
>
> Nun, wenn die partiellen Ableitungen [mm]z_{x}, z_{y}[/mm] stetig sind,
> dann ist z bzw. g sogar partiell stetig differenzierbar.
Hallo,
hier gibt es aber nun noch ein kleines logisches
Problem:
Wie zeigt man, dass z.B. die partielle Ableitung
[mm] z_x(x,y) [/mm] stetig ist, wenn sie durch die Formel
[mm] z_{x}=\bruch{-y}{3z^{2}+1}
[/mm]
gegeben ist, auf deren rechter Seite z vorkommt ?
Für den Nachweis der Stetigkeit der Funktion z(x,y)
dürfen wir uns natürlich nicht auf deren Differen-
zierbarkeit stützen, die ja eben erst bewiesen werden
soll !
Es ist also ein unabhängiger Beweis der Stetigkeit
von z(x,y) notwendig ... Die notwendige Vorarbeit
dazu steht allerdings schon zur Verfügung
LG Al-Chw.
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