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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Di 28.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Hmm, so ganz blick ich da noch net durch !
Hab zwei Aufgaben zu impliziten Funktionen !
Hab mich mal an diese Lektüre hier gehalten: ![[]](/images/popup.gif) Lektüre
1) f(x,y) = [mm] e^{x}*cos(y)-e^{-y}*cos(x)
[/mm]
Ich soll nun zeigen, dass f(x,y) in (0,0) nach y aufgelöst werden kann !
Und dann soll ich y'(x) in der Nähe von (0,0) bestimmen !
Nun ja, der Punkt (0,0) ist ja erstmal eine Nullstelle also gilt: f(0,0)=0
(was ja auch guuut ist, weil man ja eben genau so einen Punkt sucht!
Weiter folgt für die partiellen Ableitungen
[mm] \bruch{f(0,0)}{ \partial x}=1 \not= [/mm] 0
[mm] \bruch{f(0,0)}{ \partial y}=-1 \not= [/mm] 0
Es gibt also weitere Lösungspunkte in der Umgebung von (0,0) die die Gleichung f(x,y)=0 erfüllen !
Und es gibt die lokale Auflösungsfunktion y=h(x) mit h(0)=0 und f(y,h(x))=0
Aber wie bestimme ich hier nun y'(x) in der Nähe von (0,0) ?
Ich denke mal mit dem y'(x) ist mein h'(x) gemeint ?
Muss ich das mit Taylor machen ?
Warum kann ich nicht y'=- [mm] \bruch{F_x}{F_y}=1 [/mm] rechnen ?
2) Die Frage hier ist, wo man [mm] x^2+x*y+y^2=6 [/mm] nach y auflösen kann ! Dort soll man "explizit" nach y auflösen und y' bestimmen !
Es gilt ja
[mm] \bruch{f(x,y)}{ \partial x}=2x+y [/mm]
[mm] \bruch{f(x,y)}{ \partial y}=2y+x [/mm]
Damit man nach y also auflösen kann, muss 2y+x [mm] \not=0 [/mm] => y [mm] \not=- \bruch{x}{2}
[/mm]
Des weiteren sind doch implizite Funktionen immer in der Form F(a,b)=0 gegeben, also setze ich mal F(x,y)= [mm] x^2+x*y+y^2-6 [/mm]
Nullstellen hat das Ding viele ! Es muss nur y= [mm] \bruch{1}{2}(-x \pm \wurzel{3}* \wurzel{8-x^2}) [/mm] gelten !
Wenn nun aber [mm] x^2=8 [/mm] gilt, so wird [mm] y=-\bruch{x}{2}, [/mm] was es aber nicht sein darf, weil man dann nicht nach y auflösen kann !
Daher würd ich jetzt eigentlich sagen, für alle [mm] x^2 \not=8 [/mm] kann man nach y auflösen !
Habe ich dich denn nun schon explizit nach y aufgelöst ? Eigentlich ja, oder? Und y' ist doch wieder y'=- [mm] \bruch{F_x}{F_y}=
[/mm]
Warum stimmt das net ?
Gruß & Danke
Faenôl
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Hallo Faenol,
> 1) f(x,y) = [mm]e^{x}*cos(y)-e^{-y}*cos(x)[/mm]
>
> Ich soll nun zeigen, dass f(x,y) in (0,0) nach y aufgelöst
> werden kann !
> Und dann soll ich y'(x) in der Nähe von (0,0) bestimmen !
>
> Nun ja, der Punkt (0,0) ist ja erstmal eine Nullstelle also
> gilt: f(0,0)=0
> (was ja auch guuut ist, weil man ja eben genau so einen
> Punkt sucht!
>
> Weiter folgt für die partiellen Ableitungen
>
> [mm]\bruch{f(0,0)}{ \partial x}=1 \not=[/mm] 0
> [mm]\bruch{f(0,0)}{ \partial y}=-1 \not=[/mm] 0
>
> Es gibt also weitere Lösungspunkte in der Umgebung von
> (0,0) die die Gleichung f(x,y)=0 erfüllen !
>
> Und es gibt die lokale Auflösungsfunktion y=h(x) mit h(0)=0
> und f(y,h(x))=0
Die Bedingung für lokale Auflösbarkeit ist gegeben durch:
[mm]F\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; = \;0\; \wedge \;\frac{{\delta F}}
{{\delta y}}\;\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; \ne \;0[/mm]
>
> Aber wie bestimme ich hier nun y'(x) in der Nähe von (0,0)
> ?
> Ich denke mal mit dem y'(x) ist mein h'(x) gemeint ?
> Muss ich das mit Taylor machen ?
>
> Warum kann ich nicht y'=- [mm]\bruch{F_x}{F_y}=1[/mm] rechnen ?
Um die Ableitung y'(x) zu berechnen gehst Du wie folgt vor:
[mm]\begin{gathered}
F(x,\;y(x))\; = \;0 \hfill \\
F_x \; + \;F_y \;y'\; = \;0 \hfill \\
\Rightarrow \;y'(x_0 )\; = \; - \;\frac{{F_x \left( {x_0 ,\;y_0 } \right)}}
{{F_y \left( {x_0 ,\;y_0 } \right)}} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
> 2) Die Frage hier ist, wo man [mm]x^2+x*y+y^2=6[/mm] nach y auflösen
> kann ! Dort soll man "explizit" nach y auflösen und y'
> bestimmen !
>
>
> Es gilt ja
> [mm]\bruch{f(x,y)}{ \partial x}=2x+y[/mm]
> [mm]\bruch{f(x,y)}{ \partial y}=2y+x[/mm]
>
> Damit man nach y also auflösen kann, muss 2y+x [mm]\not=0[/mm] => y
> [mm]\not=- \bruch{x}{2}[/mm]
>
> Des weiteren sind doch implizite Funktionen immer in der
> Form F(a,b)=0 gegeben, also setze ich mal F(x,y)=
> [mm]x^2+x*y+y^2-6[/mm]
>
> Nullstellen hat das Ding viele ! Es muss nur y=
> [mm]\bruch{1}{2}(-x \pm \wurzel{3}* \wurzel{8-x^2})[/mm] gelten !
>
> Wenn nun aber [mm]x^2=8[/mm] gilt, so wird [mm]y=-\bruch{x}{2},[/mm] was es
> aber nicht sein darf, weil man dann nicht nach y auflösen
> kann !
>
> Daher würd ich jetzt eigentlich sagen, für alle [mm]x^2 \not=8[/mm]
> kann man nach y auflösen !
>
> Habe ich denn nun schon explizit nach y aufgelöst ?
> Eigentlich ja, oder? Und y' ist doch wieder y'=-
> [mm]\bruch{F_x}{F_y}=[/mm]
>
> Warum stimmt das net ?
>
Siehe oben stehende Bedingungen:
[mm]F\left( {x_{0} ,\;y_{0} } \right)\; = \;0\; \wedge \;\frac{{\delta F}}
{{\delta y}}\;\left( {x_{0} ,\;y_0 } \right)\; \ne \;0[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Di 28.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi MathePower !
> Um die Ableitung y'(x) zu berechnen gehst Du wie folgt
> vor:
Was du jetzt geschrieben hast, hab ich meines Erkenntnisses ja gemacht !
(wenn ich mich nicht vertue oder ich bin so blind, dass ich nicht sehe, was ich anders gemacht habe ! *g*)
Es gilt:
[mm] y'(0)=-\bruch{F_x(0,0)}{F_y(0,0)}=1
[/mm]
Ist das damit dann die Antwort auf die Frage, bestimmen Sie y' in der Nähe von (0,0) ?
Und bei der 2 ten Aufgaben ebenso:
[mm] y_0=\bruch{1}{2}(-x_0 \pm \wurzel{3}\cdot{} \wurzel{8-x_0^2})
[/mm]
Das ist die explizite Auflösung nach y !
Mit den Einschränkungen für das [mm] x_0^2, [/mm] also das man dafür sorgt, das immer notwendigerweise [mm] F_y(x_0,y_0)\not=0 [/mm] gilt !
Demnach bestimme ich [mm] y'(x_0)= [/mm] - [mm] \bruch{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}
[/mm]
Also [mm] y'(x_0)= \bruch{-2*x_0+y_0}{2*y_0+y_0} [/mm] und dann [mm] y_0 [/mm] einsetzen...
Dann habe ich einen Ausdruck [mm] y'(x_0) [/mm] der nur von [mm] x_0 [/mm] abhängt !
[mm] y'(x_0)= \bruch{-2,5*x_0 \pm \wurzel{3}\cdot{} \wurzel{8-x_0^2}}{\pm \wurzel{3}\cdot{} \wurzel{8-x_0^2}}
[/mm]
Was habe ich hier falsch angewandt ? Ich hab doch genau die Definitionen angewandt wie du...
Bzw. Ist damit die Aufgabenstellung schon beendet ?
Faenôl
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Hallo Faenol,
> > Um die Ableitung y'(x) zu berechnen gehst Du wie folgt
> > vor:
>
> Was du jetzt geschrieben hast, hab ich meines Erkenntnisses
> ja gemacht !
> (wenn ich mich nicht vertue oder ich bin so blind, dass
> ich nicht sehe, was ich anders gemacht habe ! *g*)
>
> Es gilt:
> [mm]y'(0)=-\bruch{F_x(0,0)}{F_y(0,0)}=1[/mm]
>
> Ist das damit dann die Antwort auf die Frage, bestimmen Sie
> y' in der Nähe von (0,0)
Im Prinzip schon.
> Und bei der 2 ten Aufgaben ebenso:
>
> [mm]y_0=\bruch{1}{2}(-x_0 \pm \wurzel{3}\cdot{} \wurzel{8-x_0^2})[/mm]
>
> Das ist die explizite Auflösung nach y !
>
> Mit den Einschränkungen für das [mm]x_0^2,[/mm] also das man dafür
> sorgt, das immer notwendigerweise [mm]F_y(x_0,y_0)\not=0[/mm] gilt
> !
>
> Demnach bestimme ich [mm]y'(x_0)=[/mm] -
> [mm]\bruch{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}[/mm]
>
> Also [mm]y'(x_0)= \bruch{-2*x_0+y_0}{2*y_0+y_0}[/mm] und dann [mm]y_0[/mm]
> einsetzen...
>
> Dann habe ich einen Ausdruck [mm]y'(x_0)[/mm] der nur von [mm]x_0[/mm]
> abhängt !
>
> [mm]y'(x_0)= \bruch{-2,5*x_0 \pm \wurzel{3}\cdot{} \wurzel{8-x_0^2}}{\pm \wurzel{3}\cdot{} \wurzel{8-x_0^2}}[/mm]
>
> Was habe ich hier falsch angewandt ? Ich hab doch genau die
> Definitionen angewandt wie du...
Der Faktor 0,5 vor der Wurzel im Zähler ist wohl verlorengegangen.
> Bzw. Ist damit die Aufgabenstellung schon beendet ?
Da musst Du ja noch genauer sagen, für welche Paar (x,y) die Funktionsgleichung nach y auflösbar ist.
Gruß
MathePower
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