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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^{2}\to\IR [/mm] zwei Mal stetig differenzierbar [mm] (C^{2}) [/mm] auf [mm] \IR^{2} [/mm] sowie strikt monoton bezüglich der zweiten Variable mit [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}\ge [/mm] 1.
Drücke für
g(x,f(x,y))=y
[mm] \Delta [/mm] f in den partiellen Ableitungen nulltet bis zweiter Ordnung von g aus. |
Guten Abend!
Ich bei obiger Aufgabe zwei grundsätzliche Probleme:
(1) Meint [mm] \Delta [/mm] f den Lagrange-Multiplikator und falls dem so ist, wie bestimme ich diesen?
(2) Aufgrund von g(x,f(x,y)) vermute ich, dass es sich um eine implizite Funktion handelt. Wie drücke ich so eine Funktion in partiellen Ableitungen aus?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen!
Beste Grüße und einen schönen Abend!
mathe_thommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\IR^{2}\to\IR[/mm] zwei Mal stetig differenzierbar [mm](C^{2})[/mm]
> auf [mm]\IR^{2}[/mm] sowie strikt monoton bezüglich der zweiten
> Variable mit [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}\ge[/mm] 1.
> Drücke für
> g(x,f(x,y))=y
> [mm]\Delta[/mm] f in den partiellen Ableitungen nulltet bis zweiter
> Ordnung von g aus.
>
> Guten Abend!
>
> Ich bei obiger Aufgabe zwei grundsätzliche Probleme:
> (1) Meint [mm]\Delta[/mm] f den Lagrange-Multiplikator
Nein. Damit ist der Laplace-Operator gemeint:
[mm] $\Delta [/mm] f = [mm] f_{xx}+f_{yy}$.
[/mm]
> und falls
> dem so ist, wie bestimme ich diesen?
> (2) Aufgrund von g(x,f(x,y)) vermute ich, dass es sich um
> eine implizite Funktion handelt. Wie drücke ich so eine
> Funktion in partiellen Ableitungen aus?
Wir betrachten die Gleichung
(*) g(x,f(x,y))=y
Differenziert man (*) mit der mehrdimensionalen Kettenregel nach x, so bekommt man
[mm] g_x(x,f(x,y))*1+g_y(x,f(x,y))*f_x(x,y)=0.
[/mm]
Differenziert man (*) mit der mehrdimensionalen Kettenregel nach y, so bekommt man
[mm] g_x(x,f(x,y))*0+g_y(x,f(x,y))*f_y(x,y)=1.
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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> Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen!
>
> Beste Grüße und einen schönen Abend!
> mathe_thommy
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Guten Abend Fred!
Besten Dank für Deine Hilfe bisher!
Du hast die partiellen Ableitungen erster Ordnung von g bestimmt. Wenn ich die Aufgabe korrekt verstehe, muss ich nun die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von g bestimmen, sodass ich am Ende sechs Gleichungen für die Ableitungen erster und zweiter Ordnung habe, richtig?
Wenn dem so ist, stelle ich die von mir berechneten Ableitungen gleich online!
Beste Grüße
mathe_thommy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:08 Di 24.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend Fred!
> Besten Dank für Deine Hilfe bisher!
>
> Du hast die partiellen Ableitungen erster Ordnung von g
> bestimmt. Wenn ich die Aufgabe korrekt verstehe, muss ich
> nun die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von g
> bestimmen, sodass ich am Ende sechs Gleichungen für die
> Ableitungen erster und zweiter Ordnung habe, richtig?
Für
$ [mm] \Delta [/mm] f = [mm] f_{xx}+f_{yy} [/mm] $
benötigst Du nur 4 Ableitungen: [mm] f_x,f_y [/mm] , [mm] f_{xx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm]
FRED
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> Wenn dem so ist, stelle ich die von mir berechneten
> Ableitungen gleich online!
>
> Beste Grüße
> mathe_thommy
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Guten Tag!
Bei mir hätte der Laplace-Operator nun folgende Gestalt:
[mm] \Delta f=g_{xx}(x,f(x,y))+g_{xy}(x,f(x,y))*f_{x}(x,y)+(g_{yx}(x,f(x,y))+g_{yy}(x,f(x,y))*f_{x}(x,y))*f_{x}(x,y)+f{xx}(x,y)*g_{y}(x,f(x,y))1+g_{yy}(x,f(x,y))*f_{y}(x,y)*f_{y}(x,y)+f_{yy}(x,y)*g_{y}(x,f(x,y))
[/mm]
Ist das korrekt und die Aufgabe damit bereits erledigt? An welcher Stelle genau habe ich die Monotonievoraussetzung verwendet?
Beste Grüße
mathe_thommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 26.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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