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| Aufgabe | F ̈r welchen Punkt P = (a, b, x, y) ∈ R4 definiert das Gleichungssystem
x² − y + a = 0
x² + y − b = 0
auf jeden Fall implizit x und y als Funktionen von a und b in einer Umgebung
von P ?
(1) P = (1, 1, 1, 1)
(2) P = (−1, 1, 1, 0)
(3) P = (0, 0, 0, 0) |
Hallo Ihr Lieben,
ich würde mich sehr freuen wenn Ihr mir bei dieser Aufgabe helfen könntet.
Ich komme da trotz mehrfacher Lektüre aller mir zur Verfügung stehenden Quellen (Script, div Bücher & Wikipedia) einfach kein Stück weiter!
Alles was ich bisher habe ist folgendes:
F1=x² − y + a
F2=x² + y − b
Nur was bedeutet das jetzt?
Und eine Bedingung für die Existenz eines impliziten funktional Zusammenhangs (wobei ich da auch nicht weiss was warum wohin abgeleitet werden muss):
dF1/dx [mm] \not= [/mm] 0
Dann finde ich in meinen Unterlagen noch folgendes:
[mm] \pmat{ dF1/dx & dF1/dy \\ dF2/dx & dF2/dy } [/mm] * [mm] \vektor{dx/da \\ dy/da} [/mm] = - [mm] \vektor{dF1/da \\ dF2/da}
[/mm]
Wenn ich das richtig verstanden habe ist das eine Jacobi Matrix nur mit welchem Verktor wird sie multipliziert und wieso lässt sich von dem Ergebnis auf die Lösung der Aufgabe schließen ?
Ums kurz zu machen: Ich habe mittlerweile nach zwei Semestern aufgeben den Sinn hinter imp Funktionen verstehen zu wollen wie auch der Dozent wohl zum Glück eingesehen hat das sich dieser den meisten wohl nicht vermitteln lässt und daher einfach diesen Aufgabentyp abfragt. Es wird also hoffentlich reichen wenn ich die Aufgabe am Ende nachrechnen kann ohne sie wirklich zu verstehen...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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Hallo stasihasi,
> F ̈r welchen Punkt P = (a, b, x, y) ∈ R4 definiert das
> Gleichungssystem
>
> x² − y + a = 0
> x² + y − b = 0
>
> auf jeden Fall implizit x und y als Funktionen von a und b
> in einer Umgebung
> von P ?
>
> (1) P = (1, 1, 1, 1)
> (2) P = (−1, 1, 1, 0)
> (3) P = (0, 0, 0, 0)
>
> Hallo Ihr Lieben,
>
> ich würde mich sehr freuen wenn Ihr mir bei dieser Aufgabe
> helfen könntet.
>
> Ich komme da trotz mehrfacher Lektüre aller mir zur
> Verfügung stehenden Quellen (Script, div Bücher &
> Wikipedia) einfach kein Stück weiter!
>
> Alles was ich bisher habe ist folgendes:
>
> F1=x² − y + a
> F2=x² + y − b
>
> Nur was bedeutet das jetzt?
Das sind zunächst zwei Funktionen,
für die obige Gleichungen gelten müssen.
> Und eine Bedingung für die Existenz eines impliziten
> funktional Zusammenhangs (wobei ich da auch nicht weiss was
> warum wohin abgeleitet werden muss):
>
> dF1/dx [mm]\not=[/mm] 0
>
> Dann finde ich in meinen Unterlagen noch folgendes:
>
> [mm]\pmat{ dF1/dx & dF1/dy \\ dF2/dx & dF2/dy }[/mm] *
> [mm]\vektor{dx/da \\ dy/da}[/mm] = - [mm]\vektor{dF1/da \\ dF2/da}[/mm]
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe ist das eine Jacobi
> Matrix nur mit welchem Verktor wird sie multipliziert und
> wieso lässt sich von dem Ergebnis auf die Lösung der
> Aufgabe schließen ?
Generell, wenn eine Funktion von zwei oder
mehr Variablen abhängig ist, dann schreibt
man für die Ableitung [mm]\partial[/mm]
Die Jacobi-Matrix ist [mm]\pmat{ \bruch{\partial F1}{\partial x} & \bruch{\partial F1}{\partial y}\\ \bruch{\partial F2}{\partial x} & \bruch{\partial F2}{\partial y} }[/mm]
Der Vektor mit dem sie multipliziert wird: [mm]\pmat{\bruch{\partial x}{\partial a} \\ \bruch{\partial y}{\partial a}}[/mm]
Nun, das ist ein lineares Gleichungssystem. Ein lineares
Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante
der Koeffizientenmatrix nicht verschwindet.
Hier bedeutet das, daß die Jacobi-Matrix an
einer vorgegeben Stelle invertierbar sein muß.
>
> Ums kurz zu machen: Ich habe mittlerweile nach zwei
> Semestern aufgeben den Sinn hinter imp Funktionen verstehen
> zu wollen wie auch der Dozent wohl zum Glück eingesehen
> hat das sich dieser den meisten wohl nicht vermitteln
> lässt und daher einfach diesen Aufgabentyp abfragt. Es
> wird also hoffentlich reichen wenn ich die Aufgabe am Ende
> nachrechnen kann ohne sie wirklich zu verstehen...
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>
>
Gruss
MathePower
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Also probiere ich aus den vorgegebenen Möglichkeiten einfach aus für welche die Matrix invertierbar ist?
Habe im Netzt nen Satz gefunden, nach dem eine Matrix invertierbar sei, wenn ihre Determinante ungleich null ist.
Für die Jacobi-Matrix komme ich jedenfalls auf [mm] \pmat{ 2x & -1 \\ 2x & 1 }
[/mm]
Da y nun beim Ableiten entfallen ist, könnten doch (1) & (2) Lösungen für Jacobi Determinante ungleich 0 sein oder?
Als Gleichungssystem geschrieben komme ich übrigens auf:
2x* [mm] \bruch{\partial x}{\partial a} [/mm] - [mm] \bruch{\partial y}{\partial a} [/mm] = -1
2x * [mm] \bruch{\partial x}{\partial a} [/mm] + [mm] \bruch{\partial y}{\partial a} [/mm] = 0
Und könnte mir höchstens vorstellen, das diese Ausdrücke hilfreich sind um die impliziten Funktionen explizit zu bennen. Aber was die hier bringen sollen kann ich leider nicht erkennen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 So 26.09.2010 | | Autor: | stasihasi |
Ok, mir ist gerade aufgefallen, dass die beiden Gleichungen nur für (2) null ergeben!
Aber wozu mache ich mir dann überhaupt die Mühe mit der Jacobi-Matrix??
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Hallo stasihasi,
> Also probiere ich aus den vorgegebenen Möglichkeiten
> einfach aus für welche die Matrix invertierbar ist?
>
> Habe im Netzt nen Satz gefunden, nach dem eine Matrix
> invertierbar sei, wenn ihre Determinante ungleich null
> ist.
>
> Für die Jacobi-Matrix komme ich jedenfalls auf [mm]\pmat{ 2x & -1 \\ 2x & 1 }[/mm]
>
> Da y nun beim Ableiten entfallen ist, könnten doch (1) &
> (2) Lösungen für Jacobi Determinante ungleich 0 sein
> oder?
Das musst Du überprüfen, ob diese Punkte oder einen von beiden
die gegebenen Gleichungen erfüllt.
>
> Als Gleichungssystem geschrieben komme ich übrigens auf:
>
> 2x* [mm]\bruch{\partial x}{\partial a}[/mm] - [mm]\bruch{\partial y}{\partial a}[/mm]
> = -1
> 2x * [mm]\bruch{\partial x}{\partial a}[/mm] + [mm]\bruch{\partial y}{\partial a}[/mm]
> = 0
>
> Und könnte mir höchstens vorstellen, das diese Ausdrücke
> hilfreich sind um die impliziten Funktionen explizit zu
> bennen. Aber was die hier bringen sollen kann ich leider
> nicht erkennen.
Nun, Du kannst z.B erkennen, für welche Punkte die Jacobi-Matrix invertierbar ist.
Gruss
MathePower
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