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Impulserhaltungsatz: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 So 15.05.2005
Autor: Ares1982

diese frage wurde in keinem forum gestellt!

Hi @ all,
ich komme bei einer Aufgabe nicht richtig weiter. Ich stell sie euch mal vor:

Auf einer reibungsfreien waagerechten Unterlage befinden sich 3 gleich große Kugeln unterschiedlicher Masse auf einer Schien hintereinander. Die Kugeln der Masse  [mm] m_{1} [/mm]  stößt, ohne zu rollen, mit der Geschwindigkeit  [mm] v_{1} [/mm] elastisch und zentral auf die zunächst ruhende Kugel mit  [mm] m_{2} [/mm] und diese dann mit [mm] v_{2} [/mm] wiederum elastisch auf die ruhende Kugel  [mm] m_{3}. [/mm] Wie groß ist  [mm] v_{2} [/mm] nach dem Stoß? Wie muss  [mm] m_{2} [/mm] gewählt werden, damit der von  [mm] m_{1} [/mm] auf  [mm] m_{3} [/mm] übertragene Impuls maximal wird?

Hier gilt zunächst der Impulssatz:  [mm] m_{1} [/mm] * [mm] v_{1}= m_{1} *v_{1}`+ m_{2}* m_{2}* v_{2}`. [/mm] Nun ich habe mir gedacht, dass bei stoß ohne rollen, der ganze Impuls von kugel 1 auf kugel 2 übertragen wird, dh. das die Geschwindigkeit  [mm] v_{1}`=0 [/mm] ist. da kann ich die Geschwindigkeit von kugel 2 ausrechen, aber ich weiß nicht, wie man  [mm] m_{2} [/mm] wählt, da habe ich keinen Ansatz gefunden. >Ich hoffe, ihr könnt mir da helfen. Ich danke im vorraus. Bis denn!!!!!!!!

                                                          Ares

        
Bezug
Impulserhaltungsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 So 15.05.2005
Autor: Fugre


> diese frage wurde in keinem forum gestellt!
>  
> Hi @ all,
>  ich komme bei einer Aufgabe nicht richtig weiter. Ich
> stell sie euch mal vor:
>  
> Auf einer reibungsfreien waagerechten Unterlage befinden
> sich 3 gleich große Kugeln unterschiedlicher Masse auf
> einer Schien hintereinander. Die Kugeln der Masse  [mm]m_{1}[/mm]  
> stößt, ohne zu rollen, mit der Geschwindigkeit  [mm]v_{1}[/mm]
> elastisch und zentral auf die zunächst ruhende Kugel mit  
> [mm]m_{2}[/mm] und diese dann mit [mm]v_{2}[/mm] wiederum elastisch auf die
> ruhende Kugel  [mm]m_{3}.[/mm] Wie groß ist  [mm]v_{2}[/mm] nach dem Stoß?
> Wie muss  [mm]m_{2}[/mm] gewählt werden, damit der von  [mm]m_{1}[/mm] auf  
> [mm]m_{3}[/mm] übertragene Impuls maximal wird?
>  
> Hier gilt zunächst der Impulssatz:  [mm]m_{1}[/mm] * [mm]v_{1}= m_{1} *v_{1}'+ m_{2}* m_{2}* v_{2}'.[/mm]
> Nun ich habe mir gedacht, dass bei stoß ohne rollen, der
> ganze Impuls von kugel 1 auf kugel 2 übertragen wird, dh.
> das die Geschwindigkeit  [mm]v_{1}'=0[/mm] ist. da kann ich die
> Geschwindigkeit von kugel 2 ausrechen, aber ich weiß nicht,
> wie man  [mm]m_{2}[/mm] wählt, da habe ich keinen Ansatz gefunden.
> >Ich hoffe, ihr könnt mir da helfen. Ich danke im vorraus.
> Bis denn!!!!!!!!
>  
> Ares

Hallo Ares,

es handelt sich ja um einen vollkommen elastischen Stoß, demnach
muss sowohl der Impulserhaltungssatz als auch der Energieerhaltungssatz
auf den Stoß zutreffen.
Der Impulserhaltungssatz lautet für [mm] $m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$: [/mm]
[mm] $m_1*v_1+m_2*v_2=m_1*v_1'+m_2+v_2'$ [/mm]
und der Energieerhaltungssatz:
[mm] $\frac{m_1*v_1^2}{2}+\frac{m_2*v_2^2}{2}=\frac{m_1*v_1'^2}{2}+\frac{m_2*v_2'^2}{2}$ [/mm]
Nun weißt du außerdem, dass die zweite Kugel ruhte [mm] $\rightarrow v_2=0$ [/mm]
Daraus folgt nun:
[mm] $m_1*v_1=m_1*v_1'+m_2*v_2'$ [/mm]
und
[mm] $\frac{m_1*v_1^2}{2}=\frac{m_1*v_1'^2+m_2*v_2'^2}{2}$ [/mm]
Formst du jetzt noch weiter um, so erhältst du folgende Gleichungen:
[mm] $v_1' [/mm] = [mm] \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \cdot v_1$ [/mm]
und
[mm] $v_2' [/mm] = [mm] \frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1$ [/mm]


Jetzt interessiert uns die erste nicht mehr und wir betrachten lediglich die zweite und dritte Kugel.
Da auch die dritte Kugel zunächst ruht, können wir schreiben:
[mm] $m_2*v_2'=m_2*v_2''+m_3*v_3'$ [/mm]
und
[mm] $\frac{m_2*v_2'}{2}=\frac{m_2*v_2''+m_3*v_3'}{2}$ [/mm]

Wir können die oben erhaltenen Gleichungen ja schon fröhlich einsetzen:
[mm] $m_2*\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1=m_2*v_2''+m_3*v_3'$ [/mm]
und
[mm] $\frac{m_1*v_1^2}{2}+\frac{m_2*v_2^2}{2}=\frac{m_1*v_1'^2}{2}+\frac{m_2*(\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1)^2}{2}$ [/mm]


Nun ist die Frage, wie groß [mm] $m_1$ [/mm] sein muss, damit [mm] $m_3*v_3'$ [/mm] maximal wird.
Deswegen sollten wir ein paar Umformungen vornehmen:
[mm] $m_2*\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1=m_2*v_2''+m_3*v_3'$ [/mm]
[mm] $\rightarrow m_3*v_3'=m_2*\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1-m_2*v_2''$ [/mm]
Es stört uns jetzt nur noch das [mm] $v_2''$, [/mm] deshalb sollten wir versuchen es anders darzustellen.
Analog zu $ [mm] v_1' [/mm] = [mm] \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \cdot v_1 [/mm] $ gilt natürlich auch:
$ [mm] v_2'' [/mm] = [mm] \frac{m_2 - m_3}{m_2 + m_3} \cdot v_2' [/mm] $
Setzen wir das nun in [mm] $m_3\cdot{}v_3'=m_2\cdot{}\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1-m_2\cdot{}v_2'' [/mm] $  ein, soerhalten wir:
[mm] $m_3\cdot{}v_3'=m_2\cdot{}\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1-m_2\cdot{}\frac{m_2 - m_3}{m_2 + m_3} \cdot v_2' [/mm]  $
und nun setzen wir für [mm] $v_2'$ [/mm] noch $ [mm] v_2' [/mm] = [mm] \frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1 [/mm] $ ein:
[mm] $m_3\cdot{}v_3'=m_2\cdot{}\frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1-m_2\cdot{}\frac{m_2 - m_3}{m_2 + m_3} \cdot \frac{2\ m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1 [/mm]  $

Von hier an solltest du selber weiterkommen, versuche bitte meine Vorgehensweise nachzuvollziehen und überprüfe die einzelnen Schritte,
vielleicht habe ich ja irgendwo einen kleinen Fehler "versteckt" ;-).

Liebe Grüße
Fugre

Bezug
                
Bezug
Impulserhaltungsatz: Hinweis!!!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:02 So 15.05.2005
Autor: Fabian

Hallo Ares und Fugre

Bei der zweiten Frage , wie groß [mm] m_{1} [/mm] sein muß , kann man doch folgendes ausnutzen:

Beim zentral elastischen Zusammenstoß von zwei gleich schweren Körpern tauschen die beiden Körper ihre Geschwindigkeiten aus!

Dann folgt:

[mm] m_{1}=m_{2} [/mm]

weil nur so die gesamte Bewegungsenergie von [mm] m_{1} [/mm] auf [mm] m_{2} [/mm] übertragen wird.

Das kann natürlich jetzt auch falsch sein. Deswegen ist das hier auch mehr eine Frage als eine Antwort!

Gruß Fabian

Bezug
                        
Bezug
Impulserhaltungsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:32 So 15.05.2005
Autor: Fugre


> Hallo Ares und Fugre
>  
> Bei der zweiten Frage , wie groß [mm]m_{1}[/mm] sein muß , kann man
> doch folgendes ausnutzen:
>  
> Beim zentral elastischen Zusammenstoß von zwei gleich
> schweren Körpern tauschen die beiden Körper ihre
> Geschwindigkeiten aus!
>  
> Dann folgt:
>  
> [mm]m_{1}=m_{2}[/mm]
>
> weil nur so die gesamte Bewegungsenergie von [mm]m_{1}[/mm] auf
> [mm]m_{2}[/mm] übertragen wird.
>  
> Das kann natürlich jetzt auch falsch sein. Deswegen ist das
> hier auch mehr eine Frage als eine Antwort!
>  
> Gruß Fabian

Hallo Fabian,

die Körper haben doch unterschiedliche Massen, deswegen bringt uns dieser richtige
Aspekt leider nicht weiter. Die Energie kann aber auch bei verschieden schweren Körpern
erhalten bleiben, dann besitzen allerdings beide nach dem Stoß eine Geschwindigkeit
ungleich $0$. [guckstduhier]  []Wikipedia

Liebe Grüße
Fugre

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