In Matrix übersetzen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei K ein Körper und [mm]P_n =\{a_0+a_1t+...+a_nt^n}| a_i\in K\}[/mm] der VR. der Polynome in einer Unbestimmten t von einem [mm] Grade\le [/mm] n mit Koeffizienten in K. Ist [mm] f(t)\in P_n [/mm] und [mm] g(t)\in P_m, [/mm] dann ist das Produkt [mm] f(t)g(t)\inP_{n+m} [/mm] in der naheliegenden Weise erklärt. Wir nennen [mm] (1,t,...,t^n) [/mm] die kanonische Basis von [mm] P_n. [/mm] Man bestimme die Matrix der linearen Abb. [mm] P_3->P_4, [/mm] f(t)-> (2-t)f(t) bezüglich der kanonischen Basen. |
Hallo!
Ich hoffe ich habe die ganze Sache richtig verstanden:
[mm] f(t)\in P_3=\{a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3|a_i\in K\}
[/mm]
Man kann also [mm] P_3 [/mm] als die lineare Hülle von [mm] (1,t,t^2,t^3) [/mm] auffassen.
Es handelt sich also um die Abb. [mm] a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3->(2-t)(a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3)=-a_3t^4+(2a_3-a_2)t^3+(2a_2-a_1)t^2+(2a_1-a_0)t+2a_0
[/mm]
Nun habe ich versucht die Bilder der kanonischen Basen zu suchen:
[mm] t^3->2t^3-t^4
[/mm]
[mm] t^2->2t^2-t^3
[/mm]
[mm] t->2t-t^2
[/mm]
1->2-t
Wenn ich jetzt die Umkehrabb. des Basisisomorphismus darauf anwende erhalte ich:
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}
[/mm]
Dabei sind die Koeffizienten von 1 immer in der obersten Spalte und es geht der Reihe nach nach unten.
Könnte mir bitte jemand sagen, ob meine Überlegungen stimmen?
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei K ein Körper und [mm]P_n =\{a_0+a_1t+...+a_nt^n}| a_i\in K\}[/mm]
> der VR. der Polynome in einer Unbestimmten t von einem
> [mm]Grade\le[/mm] n mit Koeffizienten in K. Ist [mm]f(t)\in P_n[/mm] und
> [mm]g(t)\in P_m,[/mm] dann ist das Produkt [mm]f(t)g(t)\inP_{n+m}[/mm] in der
> naheliegenden Weise erklärt. Wir nennen [mm](1,t,...,t^n)[/mm] die
> kanonische Basis von [mm]P_n.[/mm] Man bestimme die Matrix der
> linearen Abb. [mm]P_3->P_4,[/mm] f(t)-> (2-t)f(t) bezüglich der
> kanonischen Basen.
> Hallo!
>
> Ich hoffe ich habe die ganze Sache richtig verstanden:
>
> [mm]f(t)\in P_3=\{a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3|a_i\in K\}[/mm]
>
> Man kann also [mm]P_3[/mm] als die lineare Hülle von [mm](1,t,t^2,t^3)[/mm]
> auffassen.
> Es handelt sich also um die Abb.
> [mm]a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3->(2-t)(a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3)=-a_3t^4+(2a_3-a_2)t^3+(2a_2-a_1)t^2+(2a_1-a_0)t+2a_0[/mm]
>
> Nun habe ich versucht die Bilder der kanonischen Basen zu
> suchen:
>
> [mm]t^3->2t^3-t^4[/mm]
> [mm]t^2->2t^2-t^3[/mm]
> [mm]t->2t-t^2[/mm]
> 1->2-t
>
> Wenn ich jetzt die Umkehrabb. des Basisisomorphismus darauf
> anwende erhalte ich:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Dabei sind die Koeffizienten von 1 immer in der obersten
> Spalte und es geht der Reihe nach nach unten.
>
> Könnte mir bitte jemand sagen, ob meine Überlegungen
> stimmen?
Sie stimmen !
FRED
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> Angelika
>
|
|
|
|
