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Hi, ich soll den Index von [mm] \gamma(t)=e^{-it}sin2\pi e^{it}, [/mm] mit t [mm] \in [0,2\pi], [/mm] an der Stelle a=0 bestimmen.
[mm] \gamma(t)=e^{-it}sin2\pi e^{it} [/mm] habe ich jetzt so verstanden [mm] \gamma(t)=e^{-it}sin(2\pi e^{it}) [/mm] und nicht [mm] \gamma(t)=e^{-it}sin(2\pi) e^{it}. [/mm] In der Aufgabenstellung waren keine Kommata, so dass ich mir nicht ganz sicher bin.
So die Formel lautet ja:
[mm] Ind(\gamma,a)=\bruch{1}{2i\pi} \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z-a} dz}
[/mm]
So komme dann aber mit der Rechnung nicht so weit.
[mm] \gamma '(t)=-i*e^{-it}sin2\pi e^{it}+e^{-it}*2i\pi*e^{it}*cos2\pi e^{it}
[/mm]
[mm] =-i*e^{-it}sin2\pi e^{it}+2i\pi*cos2\pi e^{it}
[/mm]
[mm] Ind(\gamma,0)=\bruch{1}{2i\pi} \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z-a} dz}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2i\pi} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{-i*e^{-it}sin2\pi e^{it}+2i\pi*cos2\pi e^{it}}{e^{-it}sin2\pi e^{it}} dt}
[/mm]
So, jetzt komme ich schon nicht mehr weiter, weiß nicht, wie man das weiter vereinfachen kann. Vielleicht hat ja jemand lust zu helfen.
Gruß
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In deiner Klammerinterpretation ist [mm]\gamma(0) = 0[/mm]. Die Kurve geht daher durch [mm]a=0[/mm]. Deshalb ist der Index [mm]\operatorname{ind}(\gamma,a)[/mm] nicht definiert.
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Hi nochmal,
> In deiner Klammerinterpretation ist $ [mm] \gamma(0) [/mm] = 0 $. Die Kurve geht daher durch $ a=0 $. Deshalb ist der Index $ [mm] \operatorname{ind}(\gamma,a) [/mm] $ nicht definiert.
D.h. du würdest [mm] \gamma(t)=e^{-it}sin2\pi e^{it} [/mm] so interpretieren: [mm] \gamma(t)=e^{-it}sin(2\pi) e^{it} [/mm] aber das wäre ja dann [mm] \gamma(t)=sin(2\pi), [/mm] Wie willst du denn dann den Index an der Stelle a=0 berechnen? Jetzt kann ich ja [mm] \gamma(t)=sin(2\pi) [/mm] gar nicht mehr ableiten, weil gar keine Variable mehr in sin vorkommt, deswegen wüsste ich jetzt auch nicht, wies weiter geht???
Oder wolltest du damit sagen, dass "Deshalb ist der Index [mm] \operatorname{ind}(\gamma,a) [/mm] nicht definiert" schon die Lösung der Aufgabe ist??
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:36 Mo 01.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > In deiner Klammerinterpretation ist [mm]\gamma(0) = 0 [/mm]. Die
> Kurve geht daher durch [mm]a=0 [/mm]. Deshalb ist der Index
> [mm]\operatorname{ind}(\gamma,a)[/mm] nicht definiert.
>
> D.h. du würdest [mm]\gamma(t)=e^{-it}sin2\pi e^{it}[/mm] so
> interpretieren: [mm]\gamma(t)=e^{-it}sin(2\pi) e^{it}[/mm] aber das
> wäre ja dann [mm]\gamma(t)=sin(2\pi),[/mm]
...und es ist konstant 0. Er wuerde das schon so interpretieren wie du es getan hast. (Ich zumindest.)
Allerdings macht das leider keinen Sinn. Also ganz egal wie herum man es interpretiert. Ich vermute mal es handelt sich um einen Tippfehler (oder sonstigen Fehler) in der Aufgabenstellung (entweder vom Aufgabensteller oder deinerseits, wenn da etwas anderes stand als du wiedergegeben hast). Kommt vor sowas :)
> Wie willst du denn dann
> den Index an der Stelle a=0 berechnen? Jetzt kann ich ja
> [mm]\gamma(t)=sin(2\pi)[/mm] gar nicht mehr ableiten, weil gar keine
> Variable mehr in sin vorkommt, deswegen wüsste ich jetzt
> auch nicht, wies weiter geht???
Natuerlich kann man das ableiten: die Ableitung ist konstant 0.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Mo 01.06.2009 | | Autor: | jaruleking |
Also von meiner Seite aus, ist es leider kein Fehler. Habe gerade nochmal nachgeschaut.
Vielleicht war es ja auch eine Art "Fangfrage", auch wenn sie dann nicht so witzig war, aber ich bin ja drauf reingefallen, wollte das ding wirklich übers integral berechnen 
gruß
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