Indikatorfunktion < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Heyho,
Ich habe eine Folge [mm] f_{n}(w):=f(w) [/mm] * Indikatorfunktion der Menge {1,..,n}
gegeben. Und f sei [mm] f:\IN->\IR+
[/mm]
Wir haben nun geschlussfolgert, dass [mm] f_{n}(w) \le f_{n+1}(w) [/mm] gilt. Und das das < nur für w=n+1 gilt und ansonsten Gleichheit herrscht.
An dieser Stelle frage ich mich allerdings, wieso. Es ist doch nirgendswo etwas von Monotonie angegeben und abgesehen davon fällt [mm] f_{n} [/mm] aufgrund der Indikatorfunktion ab w=n+1 auf 0.
Das mit der Gleichheit verstehe ich (hoffentlich?) und würde dies so begründen, dass für alle w [mm] \in \IN [/mm] der Funktionswert = dem Grenzwert ist.
seht ihr hier einen Zusammenhang?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Heyho,
> Ich habe eine Folge [mm]f_{n}(w):=f(w)[/mm] * Indikatorfunktion der
> Menge {1,..,n}
> gegeben. Und f sei [mm]f:\IN->\IR+[/mm]
wie ist bei Euch [mm] $\IR_+$ [/mm] definiert: Ist $0 [mm] \in \IR_+$ [/mm] oder $0 [mm] \notin \IR_+$? [/mm] Vermutlich ist 0 nicht inklusive...
> Wir haben nun geschlussfolgert, dass [mm]f_{n}(w) \le f_{n+1}(w)[/mm]
> gilt. Und das das < nur für w=n+1 gilt und ansonsten
> Gleichheit herrscht.
Es gilt also für ein $f [mm] \colon \IN \to \IR_+$, [/mm] dass für $n [mm] \in \IN$ [/mm] definiert wird
[mm] $f_n:=f \cdot \mathds{1}_{\{1,...,n\}} \colon \IN \to \IR_+ \cup \{0\}$?
[/mm]
> An dieser Stelle frage ich mich allerdings, wieso. Es ist
> doch nirgendswo etwas von Monotonie angegeben und abgesehen
> davon fällt [mm]f_{n}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
aufgrund der Indikatorfunktion ab w=n+1
> auf 0.
Nun: Es ist für $m \in \{1,...,n\}$ doch
$f_n(m)=f(m)*\mathds{1}_{\{1,...,n\}}(m)=f(m)*1=f(m)$ (beachte $m \in \{1,...,n\}$)
und
$f_{\red{n+1}}(m)=f(m)*\mathds{1}_{\{1,...,n.\red{n+1}\}}(m)=f(m)*1=f(m)\,$ (beachte $m \in \{1,...,n,\red{n+1}\}$).
Soweit klar?
Weiter gilt für (natürliches) $p > \red{n+1}$ (also $p \ge n+2$)
$f_n(p)=f(p)*\mathds{1}_{\{1,...,n\}}(p)=f(p)*0=0$ (beachte $p \notin \{1,...,n\}$)
und
$f_{\red{n+1}}(p)=f(p)*\mathds{1}_{\{1,...,n.\red{n+1}\}}(p)=f(p)*0=0$ (beachte $p \notin \{1,...,n+1\}$).
Nun gilt zudem
$f_n(n+1)=f(n)*\mathds{1}_{\{1,...,n\}}(n+1)=f(n)*0=0\,,$
denn es ist $(n+1) \notin \{1,...,n\}$ (und damit $\mathds{1}_{\{1,...,n\}}(n+1)=0$), aber
$f_{n+1}(n+1)=f(n+1)*\mathds{1}_{\{1,...,n,+1\}}(n+1)=f(n+1)*1=f(n+1) \in \IR_+\,,$
denn es ist $(n+1) \in \{1,...,n,n+1\}$ (und damit $\mathds{1}_{\{1,...,n,n+1\}}(n+1)=1$).
Fazit:
Für $w \in \{1,...,\blue{n}\}$ ist
$f_n(w)=f(w)=f_{n+1}(w)\,.$
Für $w \notin \{1,...,n+1\}$ ist
$f_n(w)=0=f_{n+1}(w)\,.$
Bis hierhin gilt also
($\*$) $\left.{f_n}\right|_{\{1,...,n\} \cup \{n+2,n+3,....\}}$ $\,=\,$ $\left.f_{\red{n+1}}\right|_{\{1,...,n\} \cup \{n+2,n+3,....\}}\,.$
Damit ist also insbesondere
$\left.{f_n}\right|_{\{1,...,n\} \cup \{n+2,n+3,....\}}$ $\,\le\,$ $\left.f_{\red{n+1}}\right|_{\{1,...,n\} \cup \{n+2,n+3,....\}}\,.$
Weil nun aber
$f_n(n+1)=0\,,$
während
$f_{n+1}(n+1)=f(w) \in \IR_+$ (und wenn $0 \notin \IR_+\,,$ damit dann $f_{n+1}(n+1)=f(w) > 0$),
folgt
$f_n \le f_{n+1}\,,$
und in der Tat gilt:
$f_n(w)=f_{n+1}(w)$ für alle $w \in \IN \setminus\{n+1\}$
(das haben wir in $(\*)$ festgehalten, beachte: $\IN \setminus\{n+1\}=\{1,...,n\} \cup \{n+2,n+3,...\}$!)
und zudem
$f_n(n+1)=0 < f(w)=f_{n+1}(n+1)\,.$
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Danke! das hilft mir wirklich weiter
LG
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