Indirekter Beweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Delta458 |
| Aufgabe | | Zeigen das [mm] \wurzel{5} [/mm] irrational ist. Mit einem indirekten Beweis. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nun den Rechenschritt verstehe ich. Nur, was für eine Theorie steckt hinter dem Ganzen?
--> Nach dem Prof. ist es die Primfaktorenzerlegung.
Nach meinem Wissen ist 5 eine Primzahl. Somit lässt sich das beweisen.
Meine Hauptfrage ist:
Wie begründe ich das ganze mit der Primfaktorenzerlegung? Ich kann das Bsp mit der Zerlegung nicht verbinden. Da fehlt mir das Verständnis.
Ich könne es mit ungeraden und geraden Zahlen erklären. Aber ich glaube, dass ist nich der Sinn der Sache.
Es wäre toll wenn jemand mit einem Gegenbeispiel auch das versucht zu erklären. Zum Bsp. die [mm] \wurzel{9} [/mm] zu beweisen.
Grüße
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Hallo,
so genau weiß ich ja nicht, was Du willst.
Ich versuch's trotzdem:
Beh.: [mm] \wurzel{3} [/mm] ist irrational
Bew.: Angenommen [mm] \wurzel{3}wäre [/mm] rational. Dann gäbe es teilerfremde (!) p und q mit
[mm] \wurzel{3}=\bruch{p}{q} [/mm] (gekürzter Bruch wegen Teilerfremdheit)
==> [mm] 3=\bruch{p^2}{q^2} [/mm] <==> [mm] 3q^2=p^2.
[/mm]
3 ist eine Primzahl. Wenn 3 [mm] p^2 [/mm] teilt, muß 3 p teilen. Also ist p=3t
==> [mm] 3q^2=9t^2 [/mm] ==> [mm] q^2=3t^2.
[/mm]
Mit derselben Argumentation folgt nun, daß 3 q teilt.
Was haben wir jetzt? 3 teit p und 3 teilt q. Also sind die beiden nicht teilerfremd. Widerspruch.
Man kann also [mm] \wurzel{3} [/mm] nicht als gekürzten Bruch darstellen, also ist [mm] \wurzel{3} [/mm] nicht rational.
Was Du nun mit [mm] \wurzel{9} [/mm] im Schilde führst, weiß ich nicht so recht. Daß 3*3=9 ist, wissen wir ja längst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Delta458 |
Langsam wird das ganze etwas klarer.
D.h. mein könnte das ganze Prinzip mit der Teilerfremdheit erklären.
Also zB 9 ist keine Primzahl.
D.h: 3 * 3 = 9 lässte sich nicht in primfaktoren zerlegen aber
die zahl 3 schon??
1 * 3 = 3 ??
Genauer dieser Zusammenhang ist mir noch einbisschen unklar. Aber sonst danke für die Antwort...
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Hallo, genau andersrum:
9 ist keine Primzahl, man erhält bei der Primfaktorzerlegung nicht nur 9 und 1, denn die 9 hat einen von 9 und 1 verschiedenen Teiler.
3 ist Primzahl, hat nur sich und die 1 als Teiler, man kann sie also nicht in eine Produkt v. Primzahlen zerlegen.
Beispiel
Primfaktorzerlegung von 280: 280=2*2*2*5*7
Primfaktor"zerlegung" von 17: 17=17
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Delta458 |
Gut. Jetzt glaube ich es kapiert zu haben :)
Danke.
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