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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mo 06.02.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Mir ist das Prinzip der Induktion eigentlich klar. Man wählt einen Induktionsanfang, für welchen die Aussage gilt. Dann sagt man, die Aussage gilt für ein beliebige aber feste Zahl und im Induktionsschluss geht man dann nach dem Dominosteineffekt vor.
Nun haben wir in der Übung folgende Aussage bekommen:
[mm] n^2 \le 2^n [/mm] für jede natürlich Zahl nicht 3.
Der Beweis ist einleuchtend.
Allerdings würde der Induktionsbeweis meiner Meinung nach auch funktionieren, wenn man n=3 zulässt.
IA: n=1, [mm] 1^2 \le 2^1
[/mm]
IV:...
IS:n->n+1
[mm] (n+1)^2=n^2+2n+1 \le [/mm] (nach IV) [mm] 2^n+2n+1 \le 2^n+n^2 \le 2^n [/mm] + [mm] 2^n [/mm] = [mm] 2*2^n [/mm] = [mm] 2^{n+1}.
[/mm]
Wobei: 2n+1 [mm] \le n^2 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2 [mm] \le n^2-2n+1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2 [mm] \le (n-1)^2
[/mm]
Ich habe also bewiesen, dass die Ungleichung für n>=1 gilt, obwohl sie für n=3 nicht gilt. Habe ich im Beweis etwas übersehen, oder warum kommt man da nicht auf den Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Du hast die Ungleichung 2n+1 [mm] \le n^2 [/mm] benutzt.
Diese Ungl. ist für n=1 und n=2 falsch
FRED
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