Induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:10 Di 25.10.2005 | | Autor: | denwag |
hi,
habe gerade zwei aufgaben gerechnet und vielleicht ist ja jemand so nett und kann sie mir kontrollieren? Wäre aufjedenfall sehr nett.
und zwar:
aufgabe lt.: [mm] p^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 1 , falls p [mm] \ge [/mm] 3.
Beweis durch vollst. Induktion:
IV: n=1.
[mm] p^{1} [/mm] = p [mm] \ge [/mm] 3 > 1 .
IV: [mm] p^{n} [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] .
IS: n+1.
[mm] p^{n+1} [/mm] = [mm] p^{n} [/mm] * p [mm] \ge n^{2} [/mm] * p [mm] \ge [/mm] 3 * [mm] n^{2} [/mm] = 3 * n * n > n + 1.
qed.
die zweite aufgabe lt.: [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 5.
Beweis durch vollst. Induktion:
IV: n=1.
[mm] 2^{1} [/mm] = 2 > 1 .
IV: [mm] 2^{n} [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] .
IS: n+1.
[mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] * 2 [mm] \ge n^{2} [/mm] * 2 = 2 * n * n > n + 1.
qed.
Danke schon mal im vorraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 Di 25.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen denwag!
Bei beiden Nachweisen machst Du denselben Fehler: es muss am Ende ja heißen $... \ > \ [mm] (n+1)^{\red{2}}$
[/mm]
Das heißt bei der 1. Aufgabe: [mm] $3n^2 [/mm] \ = [mm] n^2 [/mm] + [mm] 2n^2 [/mm] \ > \ [mm] (n+1)^2 [/mm] \ = \ [mm] n^2 [/mm] + 2n + 1$
Du musst also noch zeigen, dass gilt: [mm] $2n^2 [/mm] \ > \ 2n+1$
Zudem würde ich bei der 2. Aufgabe die Verankerung mit $n \ = \ [mm] \red{5}$ [/mm] durchführen (siehe Aufgabenstellung).
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Di 25.10.2005 | | Autor: | denwag |
hi, vielen dank für die hilfe.
aber versteh jetzt nicht wie ich zeigen soll, dass 2 [mm] n^{2} [/mm] > 2n +1 gilt.
muss ich jetzt wieder eine vollst. induktion durchführen?
wenn ja, dann bleib ich schon bei dem IA hängen, da für n=1 fogeldes raus kommt:
2* [mm] 1^{2} [/mm] > 2*1+1
2>3 falsche aussage
Was mache ich falsch?
und was ist in der 2 aufgabe mit verankerung gemeint?
das ich bei dem IA n=5 setze?
hoffentlich kann mir jemand helfen.
danke schon mal im vorraus.
|
|
|
| |
|
HI
> hi, vielen dank für die hilfe.
>
> aber versteh jetzt nicht wie ich zeigen soll, dass 2 [mm]n^{2}[/mm]
> > 2n +1 gilt.
> muss ich jetzt wieder eine vollst. induktion durchführen?
> wenn ja, dann bleib ich schon bei dem IA hängen, da für
> n=1 fogeldes raus kommt:
> 2* [mm]1^{2}[/mm] > 2*1+1
> 2>3 falsche aussage
das stimmt so, dann gilt es für n=1 nicht, wie sieht es für n=2aus(oder nimm doch den Tipp und fange bei N=5 an und dann für alle [mm] n\ge5
[/mm]
[mm] also2n^{2}\ge2n+1
[/mm]
I.A n=5
[mm] 2*5^{2}=50\ge2*5+1=11
[/mm]
stimmt
n-->n+1
[mm] 2(n+1)^{2}\ge2(n+1)+1
[/mm]
[mm] \gdw 2(n^{2}+2n+1)\ge2n+3
[/mm]
[mm] \gdw 2n^{2}+4n+2\ge2n+3 [/mm] einfach erst mal -2rechnen
[mm] \gdw 2n^{2}4n\ge2n [/mm] -41 rechnen
[mm] \gdw 2n^{2}\ge-2n
[/mm]
und das gilt immer da [mm] n^{2} [/mm] postiv ist
und schon bist du fertig
LG
Britta
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 25.10.2005 | | Autor: | denwag |
hi, also es waren doch zwei aufgaben und für die erste wo ich eine falsche aussage bekommen habe gilt n [mm] \ge [/mm] 1 und deshalb macht mich das ein wenig stützig. wie soll ich das den mit n=1 zeigen?
n=5 ist auf die zweite aufgabe bezogen.
danke schon mal im vorraus.
|
|
|
| |
|
Hi
also du willst [mm] 2^{n}>n^{2} [/mm] zeigen für [mm] n\ge5
[/mm]
I.A. [mm] 2^{5}=32>25=5*5
[/mm]
n-->n+1
[mm] 2*2^{n}>n^{2}+2n+1
[/mm]
versuch das doch erst mal zu zeigen
LG
Britta
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 25.10.2005 | | Autor: | loki36 |
hi
> aber versteh jetzt nicht wie ich zeigen soll, dass 2 [mm]n^{2}[/mm]
> > 2n +1 gilt.
> muss ich jetzt wieder eine vollst. induktion durchführen?
nein du mußt jetze nur konsequent weiterrechnen :
[mm] 2*n^2 [/mm] > 2*n +1 | /n
=> 2*n > 2 +1/n
hier mußt du nun argumentieren das du das ganze ja für n' allso n'=n+1 beweißt, das bedeutet aber auch das [mm] n\ge [/mm] 2 sein muß und damit ist der beweiß gelungen.
die linke seite ist wenn du den kleinst möglichen wert für n der 2 ist einsetzt gleich 4 und die rechte seite ist 2+1/2.
> und was ist in der 2 aufgabe mit verankerung gemeint?
> das ich bei dem IA n=5 setze?
genau du beginnst bei der 2 aufgabe nicht mit n=1 sondern mit n=5 die aufgabenstellung gibt dir das vor da du [mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2 [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 5 beweisen sollst.
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Di 25.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Da wir aber nachweisen wollen: [mm] $2n^2 [/mm] \ = \ [mm] n^2 [/mm] + [mm] n^2 [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] (n+1)^2 [/mm] \ = \ [mm] n^2+2n+1$ [/mm] , müssen wir in dieser Nebenrechnung zeigen:
[mm] $n^2 [/mm] \ > \ 2n+1$
[mm] $n^2 [/mm] -2n + 1 \ > \ 2$
[mm] $(n-1)^2 [/mm] \ > \ 2$ wahr für alle $n \ [mm] \ge [/mm] \ 3$ und damit natürlich auch für $n \ > \ 5$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 25.10.2005 | | Autor: | Sandeu |
Loddar, es geht doch aber um zwei voneinander unabhängige Aufgaben, in
der ersten soll gezeigt werden:
[mm] p^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 1, falls [mm] p\ge [/mm] 3
und erst in der zweiten geht es um
[mm] 2^{n}> n^{2} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 5
Ich sitze vor der gleichen Aufgabe und kann deinen Sprung im Beweis nicht genau nachvollziehen.
Ich beginne meinen Beweis für die 1. Aufgabe wie folgt:
[mm] p^{n}>(n+1)^{2} [/mm]
und an dieser Stelle hänge ich auch schon :-(
Hoffe du kannst mir helfen!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Di 25.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sandeu!
Gehen wir ein kleines bisschen anders vor ... die ersten Schritte hat denwag ja bereits ganz oben gezeigt, die waren ja allesamt richtig.
Aber Du musst im Induktionsschritt zeigen, dass gilt: [mm] $p^{n+1} [/mm] \ > \ [mm] (n+1)^2$ [/mm] !!
[mm] $p^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] p^n [/mm] * [mm] p^1 [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] n^2 [/mm] * p \ [mm] \blue{>} [/mm] \ [mm] n^2 [/mm] * 3 \ = \ [mm] n^2 [/mm] + [mm] 2n^2 [/mm] \ > \ [mm] n^2 [/mm] + 2*(n+1) \ = \ [mm] n^2 [/mm] + 2n + 2 \ > \ [mm] n^2 [/mm] + 2n + 1 \ = \ [mm] (n+1)^2$
[/mm]
[mm] $\red{>}$ [/mm] : Induktionsvoraussetzung
[mm] $\blue{>}$ [/mm] : Aufgabenstellung
So, und nun bist Du dran mit der zweiten Aufgabe  ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Di 25.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sandeu!
Ich bin leider furchtbar neugierig ...
Von daher würde es mich doch brennend interessieren, welchen Fehler Du in meiner Antwort gefunden hast.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Di 25.10.2005 | | Autor: | Sandeu |
Ich habe deine Mittteilung nicht als fehlerhaft eingestuft, ich weiß auch nicht wer das war, aber ich verstehe einen deiner Schritte nicht...
Du schreibst:
[mm] n^{2}+ 2n^{2}> n^{2}+2(n+1)
[/mm]
Wie kommst du darauf???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Di 25.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sandeu!
> Ich habe deine Mittteilung nicht als fehlerhaft eingestuft,
> ich weiß auch nicht wer das war,
So, so ... naja - egal!
> [mm]n^{2}+ 2n^{2}> n^{2}+2(n+1)[/mm]
> Wie kommst du darauf???
Das habe ich mir sozusagen "ausgedacht", weil ich ja wusste, wo ich am Ende landen will (also nie das Ziel aus den Augen verlieren ...).
Daher habe ich dann diese Abschätzung [mm] $n^2 [/mm] \ > \ n+1$ gemacht, die ja für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ offensichtlich richtig ist!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Di 25.10.2005 | | Autor: | loki36 |
oh oh ich glaube hier ist jetzt einiges durcheinander gekommen...
meine antwort bezog sich nur auf den letzten teil von denwag ...
das was wir beweisen sollen lautet :
[mm] p^n [/mm] > [mm] n^2 [/mm] für alle [mm] n\ge1 [/mm] falls [mm] p\ge3
[/mm]
IA: n=1
[mm] p^1>1^2 [/mm] wahre aussage falls [mm] p\ge3
[/mm]
IV: [mm] p^n>n^2 [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 1 falls [mm] p\ge3
[/mm]
IS: zu zeigen ist [mm] p^{n+1}>(n+1)^2
[/mm]
[mm] p^{n+1}=p^n [/mm] *p | nach IV folgt
[mm] p^n [/mm] *p > [mm] n^2 [/mm] *p | hier hat denwag dann p=3 und das ganze in beziehung zu [mm] (n+1)^2 [/mm] gesetzt
3* [mm] n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm]
=> 3* [mm] n^2 [/mm] > [mm] n^2 [/mm] +2n +1 |nun hat er wie folgt nochmal umgeformt
[mm] n^2 [/mm] + [mm] 2*n^2 [/mm] > [mm] n^2 [/mm] +2n +1 | [mm] -n^2
[/mm]
=> [mm] 2*n^2 [/mm] > 2n+1 |ab hier setzt nun meine lösung ein
=> 2*n > 2+1/n
da n' betrachtet wird ist [mm] n\ge [/mm] 2 und damit die aussage wahr oder täusche ich mich?
|
|
|
|
