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| Aufgabe | | [mm] \forall n\varepsilon\IN: \summe_{i=1}^{2^n} [/mm] 1/i [mm] \ge [/mm] n/2 |
Ich versuche mich schon etwas länger an dieser Aufgabe und würde gerne einen Tipp haben. Also für n=1 klappts dann für
[mm] \forall n\varepsilon\IN: \summe_{i=1}^{2^{n+1}} [/mm] 1/i [mm] \ge [/mm] (n+1)/2
Mein Ansatz:
[mm] \forall n\varepsilon\IN: \summe_{i=1}^{2^n} [/mm] 1/i + [mm] \summe_{k=1}^{2^n} 1/({2^n}+k) \ge [/mm] (n+1)/2
Habe mir überlegt wie ich ab [mm] 1/2^n [/mm] bis [mm] 1/(2^{n+1}) [/mm] also Summer ausdrücken kann. Da [mm] 1/(2^{n+1}) [/mm] = [mm] 1/(2^n*2) [/mm] = [mm] 1/(2^n+2^n) [/mm] ist!
Leider komme ich nicht weiter bzw. ist vielleicht vollkommen falscher Ansatz. Bitte um einen guten Tipp 
Schönen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Mein Ansatz:
> $ [mm] \forall n\varepsilon\IN: \summe_{i=1}^{2^n} [/mm] $ 1/i + $ [mm] \summe_{k=1}^{2^n} 1/({2^n}+k) \ge [/mm] $ (n+1)/2
Das sieht gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du kannst nun die zweite Summe über [mm] $\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{2^n+2^n}$ [/mm] und die erste nach Induktionsvoraussetzung durch [mm] $\frac{n}{2}$. [/mm] Dann steht das Resultat auch schon da.
Liebe Grüße,
Hanno
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Ich stehe da noch ein wenig auf dem Schlauch! Also letzteres ist klar aber wie kann ich [mm] \sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{2^n+2^n} [/mm] durch [mm] \sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{2^n+k} [/mm] ersetzen? Oder wie darf ich es verstehen?
Danke
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Hallo!
> Ich stehe da noch ein wenig auf dem Schlauch! Also
> letzteres ist klar aber wie kann ich
> [mm]\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{2^n+2^n}[/mm] durch
> [mm]\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{2^n+k}[/mm] ersetzen? Oder wie darf ich
> es verstehen?
> Danke
Also, du kannst es nicht direkt ersetzen, sondern dadurch abschätzen. Denn k ist ja [mm] \le 2^n, [/mm] also ist [mm] $2^n+k\le 2^n+2^n$ [/mm] und somit der Kehrbruch [mm] \ge. [/mm] Also kannst du es abschätzen. Ist das verständlich formuliert?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Sorry aber nochmal:
Es steht dort dann:
[mm] \frac{n}{2} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{2^n+2^n} \le \frac{n}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \frac{n}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2^n+2^n} \le \frac{n}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \frac{1}{2^n+2^n} \le \frac{1}{2}
[/mm]
Meiner Meinung ist es damit zu klein abgeschätzt. Wo habe ich jetzt falsch gedacht?
Danke für eure Mühe ....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Sa 21.01.2006 | | Autor: | peterpan99 |
also [mm] \le [/mm] muss ein [mm] \ge [/mm] sein laut Aufgabenstellung!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Sa 21.01.2006 | | Autor: | peterpan99 |
Denkfehler gefunden und danke für´s mitdenken ...
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