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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:23 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Mathemaus22 |
Hallo!
ich habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe. Sie lautet:
Wir rdefinieren rekursiv [mm] C_1 [/mm] (x)=x
[mm] $C_n [/mm] (x)= [mm] \bruch{x^n}{n}- \bruch{1}{n}* \summe_{k=1}^{n-1} \vektor{n \\ k-1}C_k [/mm] (x)$
Zeigen sie: Für m,n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge1 [/mm] gilt:
[mm] $\summe_{k=1}^{m}k^n [/mm] = [mm] C_{n+1}(m+1)$
[/mm]
Ich habe den Induktionsanfang schon gezeigt und bei mir hackt es beim Schritt vno n [mm] \Rightarrow [/mm] n+1
[mm] \summe_{i=1}^{m}k^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{m}k^n [/mm] * k ? wie kann ich das auseinanderziehen um die Induktionsannahme zu verwenden?
Würde mich über eine Anwort freuen
Gruß Mathemaus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Mathemaus22!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wir rdefinieren rekursiv C1 (x)=x
> Cn (x)= [mm]\bruch{x^n}{n}- \bruch{1}{n}* \summe_{k=1}^{n-1} \vektor{n \\ k-1}Ck[/mm]
> (x)
>
> Zeigen sie: Für m,n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge1[/mm] gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{m}k^n[/mm] = Cn+1 (m+1)
Meinst du auf der rechten Seite [mm] C_{n+1}*(m+1) [/mm] oder etwas anderes?
Viele Grüße
Marc
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Ich meine genau das!
tut mir leid, kannte aber die schreibweise nicht!
$ [mm] C_{n+1}\cdot{}(m+1) [/mm] $
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Mathemaus22!
> Ich meine genau das!
> tut mir leid, kannte aber die schreibweise nicht!
>
> [mm]C_{n+1}\cdot{}(m+1)[/mm]
Jetzt habe ich es erst verstanden, denn das meintest du auch nicht, sondern
[mm]C_{n+1}(m+1)[/mm]
Werde das jetzt in deiner ursprünglichen Frage ändern.
Allerdings werde ich es heute nicht mehr schaffen, diese zu beantworten.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:27 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Mathemaus22,
eine sichere Lösung habe ich leider auch noch nicht gefunden, kann nur ein paar Ideen beisteuern.
> Wir rdefinieren rekursiv [mm]C_1[/mm] (x)=x
> [mm]C_n (x)= \bruch{x^n}{n}- \bruch{1}{n}* \summe_{k=1}^{n-1} \vektor{n \\ k-1}C_k (x)[/mm]
>
>
> Zeigen sie: Für m,n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge1[/mm] gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{m}k^n = C_{n+1}(m+1)[/mm]
>
> Ich habe den Induktionsanfang schon gezeigt und bei mir
> hackt es beim Schritt vno n [mm]\Rightarrow[/mm] n+1
>
> [mm]\summe_{i=1}^{m}k^{n+1}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{m}k^n[/mm] * k ? wie
> kann ich das auseinanderziehen um die Induktionsannahme zu
> verwenden?
Multinomischer Lehrsatz (frei übersetzt nach dem Binomischen Lehrsatz):
[mm] $(1+2+\ldots+m)^{n}=\summe_{{n_1,n_2,\ldots,n_m\ge0 \atop n_1+\ldots+n_m=n}} \bruch{n!}{n_1!*\ldots*n_m!} 1^{n_1}*2^{n_2}*\ldots*m^{n_m}$
[/mm]
[mm] $=1^n+\ldots+m^n+\summe_{{0\le n_1,n_2,\ldots,n_m\red{
(siehe ![[]](/images/popup.gif) http://mathworld.wolfram.com/MultinomialSeries.html)
Andererseits ist [mm] $(1+2+\ldots+m)^{n}=\left(\bruch{m*(m+1)}{2}\right)^n$ [/mm]
Wir haben also die Darstellung
[mm] $1^n+\ldots+m^n=\summe_{k=1}^{m} k^n=\left(\bruch{m*(m+1)}{2}\right)^n-\summe_{{0\le n_1,n_2,\ldots,n_m\red{
Inwieweit das zum Ziel führen kann, weiß ich nicht.
Viele Grüße,
Marc
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