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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Freaxxx |
| Aufgabe | | Für welche n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] 6*n^{2}>3^{n}? [/mm] |
Einen schönen guten Abend,
ich hab da ein mehr generelles Problem, was ich auch nich durch googlen gefunden hab. Ich bin soweit gekommen, dass es bis n=4 gilt, und hab das durch Fallunterscheidung bewiesen. Doch ist das ja nich der vollständige Beweis.
Bin dann darauf gekommen, dass man durch Induktion beweisen kann, dass es für n>4 nich gilt, bzw. die Umkehrung, also:
[mm] 6*n^{2}\le3^{n} [/mm] gilt.
Den I.A. krieg ich auch noch hin, aber wie mach ich dann beim I.S. weiter.
Häng bei [mm] 6*(k+1)^{2} \le 3^{(k+1)}.
[/mm]
Oder wie kann ich das Problem angehen??
Wär über jede Antwort dankbar.
Mfge
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Do 08.02.2007 | | Autor: | Becks |
Hallo :)
Also ich denke ich würde es genauso angehen wie du das gemacht hast.
Zur Induktion von deiner Formel: [mm] 6\cdot{}n^{2}\le3^{n} [/mm] für alle n > 4.
IA: Für n = 5 gilt [mm] 6*5^{2} [/mm] = 150 [mm] \le [/mm] 243 = [mm] 3^{5} [/mm] ok passt :)
Unsere Induktionsvorraussetzung ist ja:
IV: n > 4 und [mm] 6\cdot{}n^{2}\le3^{n} [/mm] (zu zeigen: [mm] 6\cdot{}(n+1)^{2}\le3^{(n+1)})
[/mm]
soweit bist du ja auch gekommen. :)
Jetzt kümmern wir uns noch um den Induktionsschluss. Ich gebe dir mal den Anfang und danach einen Tipp. ;)
IS: [mm] 3^{(n+1)} [/mm] = [mm] 3^{n} [/mm] * 3 [mm] \ge [/mm] 3 * [mm] 6\cdot{}n^{2} [/mm] nach Induktionsvorraussetzung und
3 * [mm] 6\cdot{}n^{2} \ge 6\cdot{}(n+1)^{2} [/mm] und warum? :)
und daraus kriegen wir dann das Ergebnis:
Schaffst du es weiter? Hier musst du ein bisschen abschätzen :)
MFG Becks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Freaxxx |
Hi,
danke erstmal für die Antwort. Hmmm, komm immer noch nich weiter, mir ist zwar klar, dass
[mm] 3\cdot6\cdot{}n^{2} [/mm] stärker ansteigt als [mm] 6\cdot{}(n+1)^{2}, [/mm] aber ich weiß nicht, wie ich das jetzt beweisen soll.
Wär über erneute Hilfe dankbar.
Mfge
Freaxxx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Sa 10.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] 3\cdot6\cdot{}n^{2} [/mm] stärker ansteigt als [mm]6\cdot{}(n+1)^{2},[/mm]
> aber ich weiß nicht, wie ich das jetzt beweisen soll.
>
[mm] 3*6*n^2\ge6*(n+1)^2 \gdw 3\ge(1+\br{1}{n})^2 [/mm] und das ist richtig unter der Induktionsvoraussetzung
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Freaxxx |
herzlichen Dank
Einen schönen Abend dann noch.
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