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| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständigerInduktion:
[mm] 1²+2²+3²+...+n²=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hab das ganze jetzt soweit gerechnet, komme aber grad net weiter.
Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
n=1 [mm] \summe_{k=1}^{1}k=\bruch{1(1+1)(2*1+1)}{6} [/mm] w.A.
n+1 [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)
[/mm]
[mm] =\bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n²+n)(2n+1)+6(n+1)}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n³+2n²+n+6n+6}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n³+2n²+7n+6}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{n(2n²+2n+7)+6}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{n(2n²+2n+7)}{6}+1
[/mm]
Aber herausommen sollte doch per Induktionsbeweis eher eine Formel wie die
[mm] =\bruch{2n³+9n²+13n+6}{6}
[/mm]
Ich weiss net mehr weiter.
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Hallo,
du möchtest ja folgendes zeigen:
[mm] 1^{2}+2^{2}+3^{2}+ [/mm] ... [mm] +n^{2}=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
jetzt zu (n+1), als Nachfolger von n
[mm] 1^{2}+2^{2}+3^{2}+ [/mm] ... [mm] +n^{2}+(n+1)^{2}=\bruch{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6}
[/mm]
also überall wo ein n steht setzt du n+1 ein, jetz zusammenfassen und alle Klammern auflösen, du bekommst dein Ergebnis,
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}=\bruch{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6}
[/mm]
Steffi
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Also ist, wenn ich
[mm] 1^{2}+2^{2}+3^{2}+ [/mm] ... [mm] +n^{2}+(n+1)^{2}=\bruch{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6}
[/mm]
dann weiter ausmultipliziere
[mm] =\bruch{(n²+3n+2)(2n+3)}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n³+3n²+6²+9n+4n+6}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n³+9n²+13n+6}{6}
[/mm]
dan doch das selbe wie
[mm] =\bruch{n(2n²+2n+7)}{6}+1 [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo ahnungslos!
Deine Rechnerei kann ich nicht ganz nachvollziehen, wie Du da die beiden Klammern ausmultiplizierst. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Aber auf jeden Fall hast Du beim Induktionsschritt jeweils ein Quadrat vergessen:
[mm] $$1^2+2^2+3^2+...+n^2 [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^{\red{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}+(n+1)^{\red{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}+\bruch{6*(n+1)^2}{6} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 10:58 Mi 17.10.2007 | | Autor: | ahnungslos87 |
Hallo Loddar,
Danke für den Tipp mit dem vergessenen ². Daran hats wirklich gelegen. Nun haut die Gleichung auch hin und der Beweis ist richtig.
Danke!!!
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