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| Aufgabe | Man beweise für alle [mm] n\varepsilon\IN [/mm] :
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}k=\bruch{1}{4}(1+(-1)^{n-1}(2n+1)) [/mm] |
Kann mir jemand helfen diesen beweis zu führen?
Meine Hypothese lautet:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}k=\bruch{1}{4}(1+(-1)^{n}(2(n+1)+1))
[/mm]
Beim induktionsschritt komme ich aber nicht auf n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}k=\summe_{k=1}^{n} (-1)^{n-1}n=\bruch{1}{4}(1+(-1)^{n-1}(2n+1))+(-1)^{n}(n+1)
[/mm]
wenn ich jetzt für [mm] (-1)^{n-1} [/mm] =a und für [mm] (-1)^{n}=an [/mm] einsetze und ausmultipliziere erhalte ich
[mm] =\bruch{1}{4}(4an^{2}+6an+a+1)
[/mm]
und wenn ich das gleiche(ersetzen und ausmultiplizieren) bei [mm] \bruch{1}{4}(1+(-1)^{n}(2(n+1)+1)) [/mm] mache erhalte ich
[mm] =\bruch{1}{4}(2an^{2}+3an+1)
[/mm]
könnte mir einer einen tipp geben wo mein fehler liegt bzw ob meine hypothese nicht stimmt.
danke!
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo steirermat,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Deine Substitution verstehe ich nicht ganz ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ...
Aber bedenke, dass gilt: [mm] $(-1)^{n-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)^n}{-1} [/mm] \ = \ [mm] -(-1)^n$ [/mm] .
Nun kannst Du bei Deinem Term [mm] $(-1)^n$ [/mm] teilweise ausklammern.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Di 11.11.2008 | | Autor: | steirermat |
Danke. Hab bei der Substitution einen fehler gemacht.
[mm] (-1)^{n} \not=(-1)^{n-1}n [/mm] sondern [mm] (-1)^{n-1}*(-1) [/mm]
manchesmal denkt man einfach falsch ;)
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Di 11.11.2008 | | Autor: | iks |
moin steirermat!
Vielleicht solltest du besse von 2n auf 2n+1 schliessen. Meint dein Ansatz wäre:
[mm] $\sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^k k=\sum_{k=1}^{2n} (-1)^k k+(-1)^{2n} [/mm] (2n+1)...$
mFg iks
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Di 11.11.2008 | | Autor: | steirermat |
Danke ich hab inzwischen die lösung. :)
lg
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