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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \varepsilon \IN: \summe_{k=0}^{n}-1^{k}\vektor{k \\ 2}=\bruch{1}{8}(-1)^{n}(2n^{2}-1)+\bruch{1}{8} [/mm] |
Ich habe folgende Hypothese:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}-1^{k}\vektor{k \\ 2}=\bruch{1}{8}(-1)^{n+1}(2(n+1)^{2}-1)+\bruch{1}{8}
[/mm]
Ich komme nicht auf die Richtige Lösung. Vieleicht kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das Beispiel lösen kann.
Danke.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Mi 12.11.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
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> [mm]\forall[/mm] n [mm]\varepsilon \IN: \summe_{k=0}^{n}-1^{k}\vektor{k \\ 2}=\bruch{1}{8}(-1)^{n}(2n^{2}-1)+\bruch{1}{8}[/mm]
>
> Ich habe folgende Hypothese:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}-1^{k}\vektor{k \\ 2}=\bruch{1}{8}(-1)^{n+1}(2(n+1)^{2}-1)+\bruch{1}{8}[/mm]
Ja, das musst du dann im Induktionsschritt erhalten!
Aber bist du sicher, dass du dich nicht vertippt hast - ich denke, die Summe beginnt bei k=2, weil sonst [mm] \vektor{k \\ 2} [/mm] nicht definiert ist!
Nehmen wir mal an, du hast dich vertippt.
Beginne mit dem Induktionsanfang n=2:
Zeige, dass [mm] \summe_{k=2}^{2}{(-1)^{k}\vektor{k \\ 2}=(-1)^{2}\vektor{2 \\ 2}}=\bruch{1}{8}(-1)^{2}(2*2^{2}-1)+\bruch{1}{8}.
[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
Für alle [mm] n\in\IN\backslash{0,1\} [/mm] gelte: [mm] \summe_{k=2}^{n}(-1)^{k}\vektor{k \\ 2}=\bruch{1}{8}(-1)^{n}(2n^{2}-1)+\bruch{1}{8}
[/mm]
Induktionsschritt, [mm] n\to{n+1}:
[/mm]
[mm] \summe_{k=2}^{n+1}(-1)^{k}\vektor{k \\ 2}=\summe_{k=2}^{n}(-1)^{k}\vektor{k \\ 2}+(-1)^{n+1}\vektor{n+1 \\ 2}\overbrace{=}^{\text{Induktionsvoraussetzung}}\bruch{1}{8}(-1)^{n}(2n^{2}-1)+\bruch{1}{8}+(-1)^{n+1}\vektor{n+1 \\ 2}=....
[/mm]
Jetzt so umformen, dass du
[mm] ...=\bruch{1}{8}(-1)^{n+1}(2(n+1)^{2}-1)+\bruch{1}{8}
[/mm]
erhälst.
> Ich komme nicht auf die Richtige Lösung. Vieleicht kann mir
> jemand einen Tipp geben wie ich das Beispiel lösen kann.
>
> Danke.
>
> lg
MfG barsch
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Ich poste mal meine Umformungsschritte:
[mm] \bruch{1}{8}(-1)^{n}(2n^{2}-1)+\bruch{1}{8}+(-1)^{n+1}\vektor{n+1 \\ 2}=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{8}(-1)^{n}(2n^{2}-1)+\bruch{1}{8}+(-1)^{n+1}(\bruch{(n+1)n}{2})=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{8}(-1)^{n}(2n^{2}-1)+(-1)^{n+1}(\bruch{(n^{2}+n}{2})+\bruch{1}{8}=
[/mm]
[mm] =(-1)^{n}(\bruch{(2n^{2}-1)}{8}-(\bruch{(n^{2}+n}{2}))+\bruch{1}{8}=
[/mm]
[mm] =(-1)^{n}(\bruch{4n^{2}-2-8n^{2}-8n}{16})+\bruch{1}{8}=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{8}(-1)^{n}(2n^{2}-1-4n^{2}-4n)+\bruch{1}{8}=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{8}(-1)^{n+1}(2n^{2}+4n+1)+\bruch{1}{8}=
[/mm]
die Lösung sollte aber sein:
[mm] =\bruch{1}{8}(-1)^{n+1}(2n^{2}+2n+1)+\bruch{1}{8}= [/mm]
Wo liegt mein Fehler?
lg
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> Ich poste mal meine Umformungsschritte:
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> [mm]\bruch{1}{8}(-1)^{n}(2n^{2}-1)+\bruch{1}{8}+(-1)^{n+1}\vektor{n+1 \\ 2}=[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{8}(-1)^{n}(2n^{2}-1)+\bruch{1}{8}+(-1)^{n+1}(\bruch{(n+1)n}{2})=[/mm]
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> [mm]=\bruch{1}{8}(-1)^{n}(2n^{2}-1)+(-1)^{n+1}(\bruch{(n^{2}+n}{2})+\bruch{1}{8}=[/mm]
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> [mm]=(-1)^{n}(\bruch{(2n^{2}-1)}{8}-(\bruch{(n^{2}+n}{2}))+\bruch{1}{8}=[/mm]
> [mm]=(-1)^{n}(\bruch{4n^{2}-2-8n^{2}-8n}{16})+\bruch{1}{8}=[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{8}(-1)^{n}(2n^{2}-1-4n^{2}-4n)+\bruch{1}{8}=[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{8}(-1)^{n+1}(2n^{2}+4n+1)+\bruch{1}{8}=[/mm]
>
> die Lösung sollte aber sein:
> [mm]=\bruch{1}{8}(-1)^{n+1}(2n^{2}+2n+1)+\bruch{1}{8}=[/mm]
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>
> Wo liegt mein Fehler?
Hallo,
darin, daß Du Dir die gewünschte Lösung nicht richtig angeschaut hast.
Es oll herauskommen [mm] \bruch{1}{8}(-1)^{n+1}(2(n+1)^{2}-1)+\bruch{1}{8} [/mm] , und das hast Du doch!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Mi 12.11.2008 | | Autor: | steirermat |
stimmt danke! :)
Ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht.
lg
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