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Hallo Leute,
habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Für welche n der natürlichen Zahlen {1, 2, 3, ... } gilt:
[mm] n^{2}\; \geq \; \frac{1}{2}\left( n+1 \right)^{2}
[/mm]
Meine Annahme: für n > 2
Behauptung:
[mm] Für\; alle\; n\; \in \; N\; :\; n\; >\; 2\; gilt\; A\left( n \right)\; :\; n^{2}\; \geq \; \frac{1}{2}\left( n+1 \right)^{2}
[/mm]
Beweis durch vollst. Induktion über n.
Induktionsanfang mit n = 3 ist trivial.
Induktionsschluss:
[mm] \mbox{S}ei\; n\; \in \; N\; :\; n\; >\; 2\; und\; A\left( n \right)\; wahr\; \left( IV \right)
[/mm]
Dann:
[mm] \left( n+1 \right)^{2}\; \geq \; \frac{1}{2}\left( \left( n+1 \right)\; +\; 1 \right)^{2}
[/mm]
[mm] \left( n+1 \right)^{2}\; \geq \; \frac{1}{2}\left( \left( n\; +\; 1 \right)^{2}\; +\; 2n\; +\; 1 \right)
[/mm]
Hier ist meiner Meinung nach ein Fehler passiert - ich bin mir bei dieser Folgerung nämlich sehr unsicher. Ich erkläre kurz:
Aus [mm] n^2 [/mm] wird durch die Induktion [mm] (n+1)^2. [/mm] Ich habe mir obige Folgerung so "hergeleitet":
[mm] a^2 [/mm] = a * a
[mm] (a+1)^2 [/mm] = [mm] a^2+2a+1
[/mm]
Im obigen Beispiel wird aus [mm] n^2 [/mm] einfach nur [mm] (n+1)^2. [/mm] Um die rechte Seite der Ungleichung "stimmig" zu halten muss ich einfach nur 2n + 1 addieren - wie bei meiner Herleitung mit der Variable a.
Dann gehts so weiter:
[mm] \left( n+1 \right)^{2}\; \geq \; \frac{1}{2}\left( n^{2}\; +\; 2n\; +1\; +\; 2n\; +\; 1 \right)
[/mm]
[mm] \left( n+1 \right)^{2}\; \geq \; \frac{1}{2}\left( n^{2}\; +\; 4n\; +\; 2 \right)
[/mm]
Zeigen möchte ich ja folgendes:
[mm] \left( n+1 \right)^{2}\; \geq \; \frac{1}{2}\left( n+2 \right)^{2}\; =\; \frac{1}{2}\left( n^{2}+4n+4 \right)
[/mm]
Nun steht das ja schon fast da - bei mir steht da nur +2 statt +4.
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Hallo abi2007LK!
Das kannst du doch auch ohne vollständige Induktion durch reine Umformungen nachweisen:
[mm] $$n^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}*(n+1)^2$$
[/mm]
[mm] $$2n^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] (n+1)^2$$
[/mm]
[mm] $$2n^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] n^2+2n+1$$
[/mm]
[mm] $$n^2-2n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$$
[mm] $$n^2-2n+1 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1+1$$
[mm] $$(n-1)^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 2$$
$$n-1 \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \wurzel{2}$$
[/mm]
$$n \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \wurzel{2}+1 [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 2.414$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Di 06.11.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Danke erstmal. Im Tutorium haben wir eine ähnliche Aufgabe mit vollst. Induktion gelöst. Ich denke mal, dass die Tutoren das von uns in den Übungen auch sehen wollen.
Außerdem würde mich noch interessieren wo mein Fehler ist.
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Hallo abi2007LK!
Wo verwendest Du denn in Deinem Nachweis die Induktionsvoraussetzung mit [mm] $n^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}*(n+1)^2$ [/mm] ?
Das ist nämlich elementar für den Nachweis mittels vollständiger Induktion.
[mm] $$(n+1)^2 [/mm] \ = \ [mm] \red{n^2}+2n+1 [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] \red{\bruch{1}{2}*(n+1)^2}+2n+1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(n^2+2n+1+4n+2\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\blue{n^2+4n+4}+2n-1\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[\blue{(n+2)^2}+\green{2n-1}\right]$$
[/mm]
Nun noch den letzten Term (in grün) abschätzen ... fertig!
Gruß vom
Roadrunner
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Öhhh? Wie kommst du auf 2n + 4n?
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> Öhhh?
Häääää???
> Wie kommst du auf 2n + 4n?
Vielleicht könntest Du die Stelle etwas genauer beschreiben...
Meinst Du das:
[mm] $\red{\bruch{1}{2}\cdot{}(n+1)^2}+2n+1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\left(n^2+2n+1+4n+2\right) [/mm] $
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ausklammern und binomische Formel.
Gruß v. Angela
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[mm] \frac{1}{2}\left( n^{2}+2n+1+4n+2 \right)\; =\; \frac{1}{2}\left( n^{2}+4n+4+2n-2 \right)
[/mm]
Dieser Schritt ist mir nicht klar.
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Hallo abi2007LK!
Da habe ich lediglich innerhalb der Klammer etwas umsortiert bzw. umgeformt, um meinen gewünschten Term für [mm] $(n+2)^2 [/mm] \ = \ [mm] n^2+4n+4$ [/mm] zu erhalten ... ah: und ich habe den Summanden $+1_$ unterschlagen:
[mm] $$\frac{1}{2}\left( n^{2}+2n+1+4n+2 \right) [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{2}\left( \underbrace{n^{2}+2n\red{+2n+4}}_{= \ n^2+4n+4}+\underbrace{1+4n+2\red{-2n-4}}_{= \ 2n-1} \right) [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{2}\left( n^{2}+4n+4+2n-1 \right) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Di 06.11.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Okay - danke euch beiden. Solche Umformungen sind manchmal ganz schön tricky.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Di 06.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielleicht hättest du statt [mm] \bruch{1}{2}((n+1)+1)² [/mm] einfach [mm] \bruch{1}{2}(n+2)² [/mm] schreiben sollen (siehe deinen 1. Beitrag)! Da hast du auch deine +4 hinten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Di 06.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Du kannst im drittletzten Term 2n auch mit 1 abschätzen, dann kannst Du dir ein wenig Schreibarbeit ersparen.
Nä, Quatsch...dann wäre es ja strikt größer!
Sorry - hab' vergessen, dass es [mm] \ge [/mm] heißt.
(2n-1 [mm] \ge [/mm] n-1 [mm] \ge [/mm] 0 : So müsste die richtige Abschätzung lauten? - nö, dann wäre es ja auch strikt größer 2n-1 > n- 1)...Hö?Ich hab' nen Hänger..
Müsste es in der Aufgabe nicht > größer heißen?
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"Wo verwendest Du denn in Deinem Nachweis die Induktionsvoraussetzung"
Ist dein Beweis durch Induktion denn richtig? Du nutzt die IV ja auch nicht... oder?
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Hallo abi2007LK!
Doch, ich verwende die Induktionsvoraussetzung. Ich habe es oben in der Antwort doch extra rot markiert.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Wie schätzt man denn 2n -1 so ab, dass es trotzdem am Ende [mm] \ge [/mm] heißt?
Es läuft bei mir immer auf strikt größer hinaus, das kann ja nicht sein!
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Hallo Salomon!
Ein [mm] $\ge$ [/mm] ist doch weniger streng als ein $>_$ .
Das heißt, wenn $>_$ gültig ist, dann [mm] $\ge$ [/mm] erst recht ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Ist mir schon bewußt,
mein (gedankliches, logisches) Problem besteht aber darin, dass dieses = einfach ein Widerspruch darstellen würde, was aber an dieser Stelle niemanden interessiert.
Trotzdem Danke! =)
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