Induktion Binomialkoeffizient < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 So 29.11.2009 | | Autor: | Minewere |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] 2^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 0 |
Hallo!
Das ist die gesamte Aufgabe und ich hänge gerade total daran.. Induktion ist mir eigentlich klar aber an dieser Aufgabe kann ich damit nichts anfangen..
Dass [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!*k!} [/mm] ist weiß ich. Aber wie ich weiterrechne nicht mehr.
EDIT: Wenn ich n+1 einsetze habe ich [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n+1 \\k} [/mm] ..wie ich jetzt weiterrechne weiß ich nicht
Dankeschön schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 So 29.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Minewere!
Kennst Du schon den ![[]](/images/popup.gif) binomischen Lehrsatz?
Wende diesen an für $x \ = \ y \ = \ 1$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 So 29.11.2009 | | Autor: | Minewere |
Hm.. Also damit kann ich jetzt irgendwie nichts weiter anfangen...Habe mir den Wikipedia Artikel mehrmals durchgelesen, aber wie ich damit zeigen kann, dass obige Behauptung stimmt komm ich nicht drauf..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 So 29.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] 2^n=(1+1)^n [/mm] hilft dir das was? oder hast du die Aufgabe das per Induktion zu zeigen? Dann rechne einfach los und sag, wo du scheiterst.
Dabie solltest du ne explizite Darstellung der Binomialkeff. benutzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Minewere |
Hänge immernoch total daran..Weiß überhaupt nicht wie ich ansetzen soll..Schon mehrere Freunde gefragt wussten auch nicht weiter.
Ob ich jetzt mit Induktion das lösen soll, keine Ahnung wie ich das machen soll..schon der Anfang bereitet mir Probleme.
Oder auf die andere Art die genannt wurde, also [mm] (1+1)^{n} [/mm] ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mo 30.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Nochmal: hattet Ihr den binomischen Satz:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^ky^{n-k} [/mm] = [mm] (x+y)^n [/mm] ???
Wenn ja, so setze mal x=y=1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Minewere |
Oke habe das mit dem Binomischen Lehrsatz gerade bisschen erklärt bekommen..Habe vorher noch nie was von gehört..
Also:
[mm] 2^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}
[/mm]
mit dem Binomischen Lehrsatz:
[mm] (x+y)^{n} [/mm] = [mm] 2^{n}
[/mm]
[mm] (x+y)^{n} [/mm] = [mm] (1+1)^{n} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x=y=1
[mm] 2^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} 1^{k}*1^{n-k} [/mm]
[mm] 2^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] 1*1
Bin ich jetzt damit fertig und habe es bewiesen? Steig noch nich ganz durch^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mo 30.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Oke habe das mit dem Binomischen Lehrsatz gerade bisschen
> erklärt bekommen..Habe vorher noch nie was von gehört..
>
> Also:
>
> [mm]2^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}[/mm]
>
> mit dem Binomischen Lehrsatz:
>
> [mm](x+y)^{n}[/mm] = [mm]2^{n}[/mm]
> [mm](x+y)^{n}[/mm] = [mm](1+1)^{n}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=y=1
Unfug. Aus dem bin. Satz folgt mit x=y=1:
$ [mm] 2^{n} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] $
>
> [mm]2^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} 1^{k}*1^{n-k}[/mm]
??????????????????
>
> [mm]2^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] 1*1
?????????????????????
FRED
>
> Bin ich jetzt damit fertig und habe es bewiesen? Steig noch
> nich ganz durch^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Minewere |
Hm..wie gesagt kannte den Binomischen Lehrsatz vorher nicht..ok..
wenn ich nun x=y=1 einsetze und
[mm] 2^{n} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] erhalte..wie gehe ich nun weiter vor? Oder habe ich das nun schon damit bewiesen?
also:
[mm] (x+y)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} x^{k}*y^{n-k}
[/mm]
[mm] (1+1)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} 1^{k}*1^{n-k}
[/mm]
[mm] 2^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] 1*1
[mm] 2^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, so passt das alles!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Minewere |
Hoooray *Party mach* :D Endlich, dankeschön
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Hallo Minewere,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich hoffe, dich mit meiner Antwort, die noch einen
anderen Weg vorschlägt, nicht total zu verwirren.
Du weisst vermutlich:
[mm] \pmat{n\\k}
[/mm]
ist die Anzahl der Möglichkeiten, wie man aus einer
Menge M mit n Elementen eine "Auswahl" von genau k
Elementen treffen kann. Jede solche "Auswahl" ist
eine Teilmenge von M mit genau k Elementen. Nun be-
trachten wir die Menge aller Teilmengen von M, die
sogenannte Potenzmenge von M, die mit [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] bezeich-
net wird. Man kann leicht zeigen, dass [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] genau
[mm] 2^n [/mm] Elemente besitzt. Andererseits besteht [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] genau
aus den Teilmengen von M mit gar keinem, einem, 2,3,
4, ..... , n Elementen. Die Gleichstellung beider
Zählergebnisse ergibt dann genau die gewünschte
Gleichung.
LG Al-Chw.
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