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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktion einer Ungleichung
Induktion einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Induktion einer Ungleichung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:31 Mo 25.08.2008
Autor: MissTake

Aufgabe
Beweise durch vollständige Induktion für alle nat. Zahlen n [mm] \ge [/mm] 2 die Gültigkeit folgender Ungleichung:

[mm] \summe_{k=1}^{n-1} [/mm] k³ <  [mm] \bruch{n^4}{4} [/mm]

Also ich komme an einer Stelle einfach nicht weiter, vielleicht kann mir ja jemand helfen.. so weit schaff ichs:

Ich setze also A(2) ein und da 1<4 ist gilt der I.A.

A(n) => A(n+1): [mm] \summe_{k=}^{n} [/mm] k³ <  [mm] \bruch{n^4}{4} [/mm]
=> [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k³ <  [mm] \bruch{(n+1)^4}{4} [/mm]

Und jetzt weiß ich einfach nicht weiter......





Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Induktion einer Ungleichung: Summe zerlegen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Mo 25.08.2008
Autor: Loddar

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo MissTake (cooler Nickname [applaus] ),

[willkommenmr] !!

Forme im Induktionsschritt um:
$$\summe_{k=1}^{n}k^3 \ = \ \summe_{k=1}^{n-1}k^3+\summe_{k=n}^{n}k^3} \ = \ \blue{\summe_{k=1}^{n-1}k^3}+n^3$$
Auf den blauen Term nun die Induktionsvoraussetzung anwenden.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Induktion einer Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Mo 25.08.2008
Autor: MissTake

Danke für die liebe Begrüßung.
Ja mein Name scheint kreativer als mein mathematisches Denken zu sein *lach*

Also.... würde es dann so weiter gehen?

[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k³ = [mm] \summe_{k=1}^{n-1} [/mm] k³ + (n-1)³ < [mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + (n+1)³

[mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + (n+1)³ < [mm] \bruch{(n+1)^4}{4} [/mm]

.. und dann eben ausrechnen?!


Bezug
                        
Bezug
Induktion einer Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Mo 25.08.2008
Autor: angela.h.b.


> Danke für die liebe Begrüßung.
> Ja mein Name scheint kreativer als mein mathematisches
> Denken zu sein *lach*
>  
> Also.... würde es dann so weiter gehen?
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k³ = [mm]\summe_{k=1}^{n-1}[/mm] k³ + (n-1)³ <
> [mm]\bruch{n^4}{4}[/mm] + (n+1)³
>  
> [mm]\bruch{n^4}{4}[/mm] + (n+1)³ < [mm]\bruch{(n+1)^4}{4}[/mm]
>  
> .. und dann eben ausrechnen?!
>  

Hallo,

[willkommenmr].

Nicht ganz so, aber es geht in diese Richtung.

Es ist doch

[mm] \summe_{k=1}^{n}[/mm] [/mm] k³ [mm] =1^3+2^3+3^3+...+(n-1)^3+n^3\summe_{k=1}^{n-1}[/mm] [/mm] k³ [mm] +n^3. [/mm]

Das hatte Dir Loddar ja auch schon gesagt.

Die Summe kannst Du nun, wie Du es oben auch tust, durch die Induktionsvoraussetzung abschätzen.

Du erhältst

[mm] ...<\bruch{n^4}{4} [/mm] + [mm] n^3 [/mm]

Nun mußt Du Dir Gründe überlegen dafür daß dies [mm] <\bruch{(n+1)^4}{4} [/mm] ist.

Tip1:

[mm] ...=\bruch{n^4+4n^3}{4} [/mm] < ???au

Tip2:

Rechne mal auf einem geheimen Nebenrechnungszwttel [mm] (n+1)^4 [/mm] aus.

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
Induktion einer Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Mo 25.08.2008
Autor: MissTake

Ihr dürft mich schlagen... aber ich steh total aufn Schlauch..

Bei Gleichungen ist es ja so, dass ich dann irgendwann für A(n) => A(n+1) setze... (ich versuche es mal verständlich zu beschreiben.. mal schauen obs klappt)

So danach muss ich ja dieses n+1 = "n" mit dem "1" addieren.

und im nächstem Schritt schaue ich dann, ob es das selbe ist.

Nun ist dieses "1" ja oft ein k und dafür setze ich dann ein "n+1" ein.


Aber bei dieser mir so verhassten Ungleichung ist es ja anders. Da wäre es ja ein n³ anstatt einem (n+1)³ liegt dass nun an dem (n-1) was über dem Summenzeichen liegt?


Also wenn ich das nun so wie eben vorgeschlagen rechne bzw aufschreibe kommt ja so was bei rum (ich hoffe dieses Mal ist es richtig *lach)

[mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + 3 < [mm] \bruch{(n+1)^4}{4} [/mm]
<=> [mm] \bruch{n^4 + 4n³}{4} [/mm] < [mm] \bruch{(n+1)^4}{4} [/mm]
<=> [mm] n^4 [/mm] + 4n³ < [mm] n^4 [/mm] + 4n³ + 8n² + 4n + 1

was ja stimmen würde.... also dass die rechte Seite größer ist als die Linke.

Also QED?!

Bezug
                                        
Bezug
Induktion einer Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Mo 25.08.2008
Autor: angela.h.b.


> Ihr dürft mich schlagen...

Hallo,

das ist ja nun aufgrund der besonderen Art uneres Kontaktes nur schwer möglich - aber danke fürs Angebot...


> Bei Gleichungen ist es ja so, dass ich dann irgendwann für
> A(n) => A(n+1) setze... (ich versuche es mal verständlich
> zu beschreiben.. mal schauen obs klappt)
>  
> So danach muss ich ja dieses n+1 = "n" mit dem "1"
> addieren.
>  
> und im nächstem Schritt schaue ich dann, ob es das selbe
> ist.
>  
> Nun ist dieses "1" ja oft ein k und dafür setze ich dann
> ein "n+1" ein.

Verstanden habe ich das überhaupt nicht.

Aber ich erklär's trotzdem:

Bei Induktionsbeweisen gibt es eine zu beweisende Behauptung A(n). (Hier [mm] \summe_{k=1}^{n-1}k^3<\bruch{n^4}{4} [/mm] )

Zunächst zeigt man im Induktionsanfang die Gültigkeit für ein bestimmtes n, etwa n=1. (Du tatest es für n=2.)

Dann nimmt man an, daß die Behauptung für alle natürlichen Zahlen bis zur Zahl n gilt. (Induktionannahme.)

Unter dieser Voraussetzung zeit man, daß auch A(n+1) gilt, also die Aussage, die entsteht, wenn man jedes n konsequent durch n+1 ersetzt.
(Hier ist zu zeigen: [mm] \summe_{k=1}^{(n+1)-1}k^3<\bruch{(n+1)^4}{4} [/mm]

Dies tut man, indem man unter Ausnutzung der Induktionsannahme umformt.

(Diesen Schritt vollziehen wir mit  [mm] \summe_{k=1}^{(n}k^3= \summe_{k=1}^{n-1}k^3 [/mm] + [mm] n^3<\bruch{n^4}{4} +n^3. [/mm]

Das [mm] n^3 [/mm] bekommen wir, wenn wir für k das n, die obere Summationsgrenze,  einsetzen.)


>  
>
> Aber bei dieser mir so verhassten Ungleichung ist es ja
> anders. Da wäre es ja ein n³ anstatt einem (n+1)³ liegt
> dass nun an dem (n-1) was über dem Summenzeichen liegt?

Ja.

[mm] \summe_{k=1}^{n-1}k^3=1^3+2^3+...+(n-1)^3 [/mm]

[mm] \summe_{k=1}^{n}k^3=1^3+2^3+...+(n-1)^3+n^3 [/mm]


> Also wenn ich das nun so wie eben vorgeschlagen rechne bzw
> aufschreibe kommt ja so was bei rum (ich hoffe dieses Mal
> ist es richtig *lach)
>  
> [mm]\bruch{n^4}{4}[/mm] + [mm] n^3 [/mm] < [mm]\bruch{(n+1)^4}{4}[/mm]
>  <=> [mm]\bruch{n^4 + 4n³}{4}[/mm] < [mm]\bruch{(n+1)^4}{4}[/mm]

>  <=> [mm]n^4[/mm] + 4n³ < [mm]n^4[/mm] + 4n³ + 8n² + 4n + 1

Abgesehen davon, daß [mm] (n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1 [/mm] ist, steht dort viel richtiges.

Ich rate Dir für Induktionsbeweise von Ungleichungen von solchen Äquivalenzumformungen ab, man macht bei größeren Abschätzungen zu leicht Fehler.

Schreib es lieber als schöne Kette:

[mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + [mm] n^3 <\bruch{n^4 + 4n³}{4}<\bruch{n^4 + 4n³+6n^2+4n+1}{4}=\bruch{(n+1)^4}{4} [/mm]

Gruß v. Angela

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