Induktion u.Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Bina02 |
Hallo ihr Lieben! :)
Habe 2 Fragen bezüglich volständige Induktion und Grenzwert- Berechnung und hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
Die Fragen lauten:
1. Betrachten sie die Summe sn= 2+4+6+...+2*n , n E N*, d.h. die Summe der ersten n geraden Zahlen.
a) Berechnen sie s1,s2,s3... so lange, bis sie einen allgemein gültigen Ausdruck für sn vermuten können - Hier habe ich also s1= 2, s2 =4, s3 = 6 usw. gewählt, so dass ich später auf die allgemeine Vermutung sn= 2n kam.
b) Beweisen sie diese Vermutung durch vollständige Induktion - So, hier liegt mein Problem. Also ich schreibe am besten mal auf, wie weit ich es habe. Also:
I. Induktionsanfang: Zu zeigen: A (1), d.h., s1 = 2*1 = 2
Nachweis: s1 = 2 nach Definition der Summe sn
II. Induktionsschluss: A (k) -> A (k+1)
Ind.- Vorauss: A (k), d.h., sk = 2k
Zu zeigen ( Ind.- Folgerung) : A (k+1), d.h., s (k+1) = 2 (k+1) = 2k+2
Nachweis: s (k+1) = sk + 2k ???
= 2k +2k = 4k
- Dies kommt also nicht hin. Wär superlieb wenn mir jemand sagen könnte wo der Fehler liegt. Hab echt schon lange dran überlegt.
2.) Und schließlich noch diese Aufgabe:
Untersuchen sie mit Hilfe der Definition auf Konvergenz:
a) an = 1 / Wurzel aus (n+1) - Hier habe ich den Grenzwert auf 0 bestimmt, also lim 1/ Wurzel (n+1) = 0. Muss ich das noch irgendwie begründen? Weil die Aufgabenstellung ja keinen Beweis verlangt. Vielleicht kann ich es noch anders formulieren? Anregungen wären supernett.
b) an = [mm] n^2 [/mm] +1 / [mm] 3n^2 [/mm] +7 - Also hier denke ich mir erstmal [mm] n^2 [/mm] ausklammern ,also : 1+ [mm] (1/n^2) [/mm] / [mm] 3+(7/n^2). [/mm] Dann denke ich mir der Grnezwert liegt bei 1/3 , da lim 1/ [mm] n^2 [/mm] (muss ich ja getrennt betrachten) auf 0 zuläuft. Lieg ich mit meinen Ausführungen richtig?
Also ihr Lieben, hoffe ihr könnt mir eure Meinungen dazu sagen!
Vielen Dank im voraus und liebe Grüße,
Die Bina :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo ihr Lieben! :)
>
> Habe 2 Fragen bezüglich volständige Induktion und
> Grenzwert- Berechnung und hoffe ihr könnt mir weiter
> helfen.
Bitte in Zukunft bei 2 unterschiedlichen Fragen auch 2 Stränge aufmachen, danke! 
> Die Fragen lauten:
> 1. Betrachten sie die Summe sn= 2+4+6+...+2*n , n E N*,
> d.h. die Summe der ersten n geraden Zahlen.
>
> a) Berechnen sie s1,s2,s3... so lange, bis sie einen
> allgemein gültigen Ausdruck für sn vermuten können - Hier
> habe ich also s1= 2, s2 =4, s3 = 6 usw. gewählt, so dass
> ich später auf die allgemeine Vermutung sn= 2n kam.
Deine Vermutung ist leider falsch, weil deine Werte für s1,s2 und s3 schon falsch sind. Du hast einfach die antprechende Stelle in der Summe herausgesucht. Du musst aber für jedes sn alle ersten n Glieder von 1 bis n addieren.
Damit erhälst du:
[mm]\begin{matrix}
n & | & 1 &2&3&4&5\\
2n & |& 2&4&6&8&10\\
s_n & | & 2&6&12&20&30\\
n & | & 1 &2&3&4&5\\
\end{matrix}[/mm]
Ich habe in der letzten Zeile nochmal n notiert, damit man es vielleicht etwas schneller sieht. Ein Blick in mein Tabellen&Formelbuch hat mir aber verraten, dass die Summe der ersten n geraden Zahlen genau $n(n+1)$ ist. Also Behauptung: [mm] $s_n [/mm] = n [mm] \cdot [/mm] (n+1)$ (*).
Das wollen wir gleich noch zeigen.
Induktionsanfang:
$n=1: [mm] s_1 [/mm] = 2 = [mm] 1\cdot [/mm] 2$ stimmt.
Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] (n+1)$:
Induktionsvoraussetzung: Wir behaupten jetzt einfach, dass (*) für ein n gilt.
Induktionsbehauptung: Dann gilt für (n+1):
[mm] $s_{n+1} [/mm] = (n+1) [mm] \cdot [/mm] (n+2)$
Beweis:$ [mm] s_{n+1}= s_n [/mm] + [mm] 2\cdot(n+1)$
[/mm]
Jetzt noch [mm] $s_n$ [/mm] ersetzen und du hast den Beweis (den Rest kannst du selbst machen).
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> 2.) Und schließlich noch diese Aufgabe:
> Untersuchen sie mit Hilfe der Definition auf Konvergenz:
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> a) an = 1 / Wurzel aus (n+1) - Hier habe ich den
> Grenzwert auf 0 bestimmt, also lim 1/ Wurzel (n+1) = 0.
> Muss ich das noch irgendwie begründen? Weil die
> Aufgabenstellung ja keinen Beweis verlangt. Vielleicht kann
> ich es noch anders formulieren? Anregungen wären
> supernett.
Wie habt ihr das denn bisher bewiesen? Sagt die das [mm] $\epsilon$-Kriterium [/mm] für Grenzwerte etwas? Hier bist du nochmal gefragt!
>
> b) an = [mm]n^2[/mm] +1 / [mm]3n^2[/mm] +7 - Also hier denke ich mir
> erstmal [mm]n^2[/mm] ausklammern ,also : 1+ [mm](1/n^2)[/mm] / [mm]3+(7/n^2).[/mm]
> Dann denke ich mir der Grnezwert liegt bei 1/3 , da lim 1/
> [mm]n^2[/mm] (muss ich ja getrennt betrachten) auf 0 zuläuft. Lieg
> ich mit meinen Ausführungen richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") super, alles richtig!
Gruß Micha
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