Induktionsaxiom beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Do 06.11.2014 | | Autor: | Springer |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das Induktionsaxiom (P5) äquivalent zur Wohlordnungseigenschaft von [mm] \IN [/mm] ist, d.h. jede Teilmenge von [mm] \IN [/mm] besitzt ein kleinstes Element. |
Guten Abend,
ich soll in für die oben stehende Aufgabe die Äquivalenz vom Induktionsaxiom (P5) und der Wohlordnungseigenschaft in [mm] \IN [/mm] zeigen.
Das bedeutet ja, dass ich sowohl die Folgerung von A nach B und von B nach A zeigen muss:
Dass aus dem Induktionsaxiom die Wohlordnungseigenschaft von [mm] \IN [/mm] folgt, habe ich versucht über Induktion zu zeigen:
Induktionsanfang:
Sei die Menge M für n=1 eine einelementige Menge
[mm] M_{n} [/mm] = { [mm] n_{1},n_{2},...,n_{n} [/mm] }
[mm] M_{1} [/mm] = { [mm] n_{1} [/mm] } [mm] n_{1} \in \IN
[/mm]
Dann besitzt die Teilmenge [mm] M_{1} [/mm] ein kleinstes Element.
Induktionsvoraussetzung:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] besitzt die Teilmenge [mm] M_{n} [/mm] ein kleinstes Element.
Desweiteren (habe ich erfahren) muss man noch zeigen, dass die Behauptung auch für eine zweielementige Menge [mm] M_{2} [/mm] gilt:
[mm] M_{2} [/mm] = { [mm] n_{2},n_{2} [/mm] }
Dies kann man aber auch schreiben als:
[mm] M_{2} [/mm] = { [mm] n_{1} [/mm] } [mm] \cup [/mm] { [mm] n_{2} [/mm] }
Aufgeteilt in zwei einelementige Mengen besitzt dann jede wieder ein kleinstes Element, von denen eine kleiner ist, als die andere, da ja zwei Elemente einer Menge aus [mm] \IN [/mm] nie gleich sein dürfen.
Hier würde ich gerne wissen, ob ich diese Annahme so machen darf.
Induktionsschritt:
Nun muss gezeigt werden, dass auch die [mm] M_{n+1} [/mm] ein kleinstes Element besitzt. Diese Menge kann man wieder aufteilen:
[mm] M_{n+1} [/mm] = { [mm] n_{1}, n_{2}, [/mm] ..., [mm] n_{n}, n_{n+1} [/mm] }
Nun trennt man diese auf, sodass man die IV anwenden darf:
[mm] M_{n+1} [/mm] = { [mm] n_{1}, n_{2}, [/mm] ..., [mm] n_{n} [/mm] } [mm] \cup [/mm] { [mm] n_{n+1} [/mm] }
Nach Voraussetzung hat [mm] M_{n} [/mm] ein kleinstes Element, nennen wir es x.
Dann ist nun nur noch zu zeigen, dass auch die Menge
[mm] M_{2} [/mm] = { x, n+1 }
ein kleinstes Element besitzt.
Wenn ich meinen Satz von oben für eine zweielementige Menge zitiere, ist es schonmal sicher, dass eines der beiden Elemente kleiner ist. So kann ich hier sagen, dass zwei Fälle auftreten könnten:
Fall 1: Das Element x ist kleiner als n+1, wodurch x allerdings immer noch kleiner ist, als jedes Element aus [mm] M_{n} [/mm] und somit auch das kleinste Element aus [mm] M_{n+1} [/mm] ist
Fall 2: Das Element n+1 ist kleiner als x und ist dann das kleinste Element der Menge [mm] M_{n+1}
[/mm]
Ich hätte gerne auch Kommentare zu diesem Lösungsweg und würde gerne wissen, ob meine Schritte so logisch sind.
Desweiteren wäre ich sehr erfreut, wenn mir jemand einen Ansatz für die andere Richtung geben könnte, also weshalb aus der Wohlordnungseigenschaft in [mm] \IN [/mm] das Induktionsaxiom folgt.
Vielen Dank schonmal.
Grüße Springer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Springer,
ich habe im Moment gar nicht Zeit, eingehender auf
die Aufgabe einzugehen.
Es sieht aber so aus, dass du die Äquivalenz der
beiden Axiome durch einen Beweis durch vollständige
Induktion beweisen möchtest.
Da schrillt bei mir irgendwo eine Alarmglocke:
"Eine Aussage über das Induktionsaxiom durch einen
Induktionsbeweis bestätigen ? ---- ist das nicht
irgendwie so etwas wie eine Katze, die sich in ihren
eigenen Schwanz beißt ?"
(Nebenbei: meine Katze könnte das zwar durchaus,
wenn sie wollte, aber bisher wollte sie das noch nie  )
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Do 06.11.2014 | | Autor: | Springer |
Aber ich dachte wenn ich die Hinrichtung beweisen möchte:
"Aus dem Induktionsaxiom folgt die Wohlordnungseigenschaft von [mm] \IN."
[/mm]
dann dachte ich, ich düfte die Induktion, die ich aus dem Induktionsaxiom erhalte, verwenden.
Wie ginge denn ein besserer Weg?
Grüße Springer
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> Aber ich dachte wenn ich die Hinrichtung beweisen möchte:
>
> "Aus dem Induktionsaxiom folgt die Wohlordnungseigenschaft
> von [mm]\IN."[/mm]
>
> dann dachte ich, ich düfte die Induktion, die ich aus dem
> Induktionsaxiom erhalte, verwenden.
Du hast Recht. Für die "Hinrichtung" , wie du sie nennst,
kann man tatsächlich einen Induktionsbeweis benützen.
Für den zweiten Teil des Beweises jedoch nicht.
Ich habe nur mal ein bisschen gegoogelt und eine Schrift
gefunden, wo das Thema behandelt wird:
[PDF]Kapitel 3: Die natürlichen Zahlen
www2.math.uni-wuppertal.de/~schuster/teaching/vorlesungen/.../kap3.pd...
Das Induktionsaxiom ist äquivalent zum Satz vom kleinsten Element: Jede nichtleere ... Die Ordnung auf den natürlichen Zahlen ist also eine Wohlordnung.
(sonst bin ich zwar kein Freund dieser "Billigvariante" der
Hilfe ...)
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Do 06.11.2014 | | Autor: | Springer |
Vielen Dank.
Grüße Springer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:38 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Aber ich dachte wenn ich die Hinrichtung beweisen möchte:
> >
> > "Aus dem Induktionsaxiom folgt die Wohlordnungseigenschaft
> > von [mm]\IN."[/mm]
> >
> > dann dachte ich, ich düfte die Induktion, die ich aus dem
> > Induktionsaxiom erhalte, verwenden.
>
>
> Du hast Recht. Für die "Hinrichtung" , wie du sie nennst,
> kann man tatsächlich einen Induktionsbeweis benützen.
> Für den zweiten Teil des Beweises jedoch nicht.
>
> Ich habe nur mal ein bisschen gegoogelt und eine Schrift
> gefunden, wo das Thema behandelt wird:
>
> [PDF]Kapitel 3: Die natürlichen Zahlen
>
> www2.math.uni-wuppertal.de/~schuster/teaching/vorlesungen/.../kap3.pd...
> Das Induktionsaxiom ist äquivalent zum Satz vom kleinsten
> Element: Jede nichtleere ... Die Ordnung auf den
> natürlichen Zahlen ist also eine Wohlordnung.
>
> (sonst bin ich zwar kein Freund dieser "Billigvariante"
> der
> Hilfe ...)
so billig ist sie nicht: Man muss ja auch erst mal wissen, wie man sowas
suchen kann, und dann auch noch das richtige finden.
(Ich glaube sogar, sehr viele Professoren arbeiten so/lassen so arbeiten...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:19 Fr 07.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Springer und erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Zeigen Sie, dass das Induktionsaxiom (P5) äquivalent zur
> Wohlordnungseigenschaft von $ [mm] \IN [/mm] $ ist, d.h. jede Teilmenge von $ [mm] \IN [/mm] $
> besitzt ein kleinstes Element.
Es muss heißen: "d.h. jede NICHTLEERE Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] besitzt ein kleinstes Element."
> Dass aus dem Induktionsaxiom die Wohlordnungseigenschaft
> von [mm]\IN[/mm] folgt, habe ich versucht über Induktion zu
> zeigen:
Da stellt sich zunächst die Frage, welche Aussage über alle natürlichen Zahlen du per Induktion zeigen möchtest.
Offensichtlich folgende Aussage:
Für alle [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] gilt: Ist $M$ eine $n$-elementige Teilmenge von [mm] $\IN$, [/mm] so hat $M$ ein kleinstes Element.
Das Problem bei dieser Vorgehensweise:
Damit folgt zwar, dass alle nichtleeren ENDLICHEN Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] ein kleinstes Element haben.
Damit bleiben aber die unendlichen Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] unberücksichtigt.
Viele Grüße
Tobias
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