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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mi 24.01.2018 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Aussage mit dem Induktionsbeweis
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k}= [/mm] 2- [mm] \bruch{n+2}{2^n} [/mm] |
Hallo,
Der Induktionsanfang für n =1 ist klar.
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} +\bruch{n+1}{2^{n+1}}
[/mm]
mit der Verwendung der Induktionsvorraussetzung
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} +\bruch{n+1}{2^{n+1}}=2- \bruch{n+2}{n^2}+\bruch{n+1}{2^{n+1}}
[/mm]
Hier taucht mein Problem auf
laut meiner Lösung wird der erst Bruch erweitert und alle auf einen Nenner gebraucht, dann aber wird der zweite Bruch vom ersten abgezogen und das macht für mich keinen Sinn
Also wieso ist das dann
[mm] 2-\bruch{2n+4-n-1}{2^{n+1}}
[/mm]
da stand doch kein - Zeichen zwischen den 2 Brüchen
Danke
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Hallo,
> Beweisen Sie die folgende Aussage mit dem Induktionsbeweis
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> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k}=[/mm] 2- [mm]\bruch{n+2}{2^n}[/mm]
> Hallo,
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> Der Induktionsanfang für n =1 ist klar.
>
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> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} +\bruch{n+1}{2^{n+1}}[/mm]
>
> mit der Verwendung der Induktionsvorraussetzung
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} +\bruch{n+1}{2^{n+1}}=2- \bruch{n+2}{n^2}+\bruch{n+1}{2^{n+1}}[/mm]
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> Hier taucht mein Problem auf
>
> laut meiner Lösung wird der erst Bruch erweitert und alle
> auf einen Nenner gebraucht, dann aber wird der zweite Bruch
> vom ersten abgezogen und das macht für mich keinen Sinn
>
> Also wieso ist das dann
>
> [mm]2-\bruch{2n+4-n-1}{2^{2^n+1}}[/mm]
>
> da stand doch kein - Zeichen zwischen den 2 Brüchen
mal eine Vorbemerkung: ich weiß, die Eingabemöglichkeiten in diesem Forum sind antiquiert. Dennoch: die Gründlichkeit deiner mathematischen Notationen lässt öfter zu wünschen übrig. Es wäre aber bei solchen Fragen besonders wichtig, dass man alles gut nachvollziehen kann und nicht erst Fehler aufdröseln muss.
Genau das letztere werde ich hier auch nicht tun. Ich denke, ich habe dein Problem verstanden und die Antwort ist völlig einfach: Minus mal Minus gleich Plus!
Wenn du die beiden Brüche zusammenfassen möchtest und das Minuszeichen vor dem dabei entstehenden gemeinsamen Bruch erhalten willst (weil das natürlich für den Beweis des Induktionsschlusses erforderlich ist), dann muss das Vorzeichen des positiven Bruchs natürlich umgekehrt werden.
Beispiel:
[mm]- \frac{a}{b}+ \frac{c}{d}= -\frac{ad-bc}{bd}[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mi 24.01.2018 | | Autor: | b.reis |
Der Nenner wurde von [mm] 2^{2n+1} [/mm] auf [mm] 2^{n+1} [/mm] verbessert
Gruß
Benni
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mi 24.01.2018 | | Autor: | chrisno |
[mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} +\bruch{n+1}{2^{n+1}}=2- \bruch{n+2}{\red{2^n}}+\bruch{n+1}{2^{n+1}}=2- \left(\bruch{n+2}{\red{2^n}}-\bruch{n+1}{2^{n+1}}\right)[/mm]
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