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Induktionsbeweis: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Fr 28.09.2007
Autor: ragsupporter

Aufgabe
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})[/mm]

Hallo,

hier mal mein ansatz:

Vermutung: [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})[/mm]

1. Induktionsanfang:

[mm]\summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{1+1}-\bruch{1}{1+2})[/mm]

[mm]\bruch{1}{3}=\bruch{1}{3}[/mm] erfüllt

2. Induktionsvoraussetzung

[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})[/mm] gilt [mm]\forall n \in \IN[/mm]

3. Induktionsschritt

[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}+\bruch{1}{(n+1)(n+1+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{(n+1)+1}-\bruch{1}{(n+1)+2})[/mm]

[mm]=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+3})[/mm]

ich hoffe mal, dass das soweit richtig ist.

so und nun komme ich nicht weiter...wie kann ich das jetz so zusammenfassen, dass es wieder die Ausgangsformel ergibt?

lg markus

        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Fr 28.09.2007
Autor: angela.h.b.


> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})[/mm]
>  Hallo,
>  
> hier mal mein ansatz:
>  
> Vermutung:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})[/mm]
>  
> 1. Induktionsanfang:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{1+1}-\bruch{1}{1+2})[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{3}=\bruch{1}{3}[/mm] erfüllt
>  
> 2. Induktionsvoraussetzung
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})[/mm]
> gilt [mm]\forall n \in \IN[/mm]
>  
> 3. Induktionsschritt

Hallo,

Hier ist nun unter der Voraussetzung, daß die Induktionsvoraussetzung gilt zu zeigen, daß die Aussage auch für n+1 gilt, daß also

[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{(n+1)+1}-\bruch{1}{(n+1)+2}) =\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+3}) [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] richtig ist.

Beweis:

Es ist
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+2)}= [/mm]

> [mm][mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}+\bruch{1}{(n+1)(n+1+2)}=... [/mm]

Du darfst nun nicht einfach das hinschreiben, was Du haben möchstest, sondern Du mußt das, was Du hast, möglichst geschickt und unter Zuhilfenahme der Ind.vor. so umformen, daß am Ende  [mm] ...=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+3}) [/mm]  dasteht.

Hierzu kannst Du die Summe [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)} [/mm] durch die Ind.vor. ersetzen.

> [mm][mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}+\bruch{1}{(n+1)(n+1+2)}= [/mm]

= [mm] (Ind.vor.)+\bruch{1}{(n+1)(n+3)} [/mm] =...

und nun mußt Du schauen, ob Du zum Gewünschten kommst.

Gruß v. Angela





Bezug
                
Bezug
Induktionsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Sa 29.09.2007
Autor: ragsupporter

hi,

erstmal danke für die Antwort, aber ich komme damit nicht so recht klar.

ich habe mir die antwort bestimmt 5-6 mal durchgelesen und irgendwie ist das doch das gleiche was ich geschrieben hab, oder?. =/

ich meine ich möchte doch nur wissen ob meine schritte soweit richtig waren und wie ich den letzten schritt umformen muss um auf die Lösung (also die ausgangsgleichung) zu kommen.

lg markus

Bezug
                        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Sa 29.09.2007
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Du schriebst:

>> 3. Induktionsschritt

>> [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}+\bruch{1}{(n+1)(n+1+2)}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{(n+1)+1}-\bruch{1}{(n+1)+2}) [/mm]

>> [mm] =\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+3}) [/mm] $

>> ich hoffe mal, dass das soweit richtig ist.

Was Du geschrieben hast, ist das, was zu zeigen ist.
Gezeigt ist so noch nichts.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Induktionsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Sa 29.09.2007
Autor: ragsupporter

ja ich weiss =)

du meintest ja auch das ich jetzt umformen muss (was ich im übrigen auch schon vorher wusste)... aber wie?

mfg markus

Bezug
                                        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 Sa 29.09.2007
Autor: schachuzipus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Markus,

nun konkret würde ich für den Induktionsschritt so ansetzen:

$\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+2)}=\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+3)}\underbrace{=}_{\text{Ind.vor.}}\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+3)$


Nun würde ich für den hinteren Bruch, also für $\frac{1}{(n+1)(n+3)$ eine Partialbruchzerlegung machen.

Setzte dazu an:  $\frac{1}{(n+1)(n+3)}=\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+3}$

Wenn du das machst, vereinfacht sich anschließend die ganze Sache sehr schnell zu dem gewünschten Zielterm.


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Induktionsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Sa 29.09.2007
Autor: ragsupporter

Besten Dank =)

also für die Parameter hab ich raus:

[mm]A=\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]B=-\bruch{1}{2}[/mm]

damit komme ich dann auf:

[mm]\bruch{1}{(n+1)(n+3)}=\bruch{1}{2(n+1)}-\bruch{1}{2(n+3)}[/mm]
[mm]\bruch{1}{(n+1)(n+3)}=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3})[/mm]

das mit der PBZ macht schon Sinn aber ich seh immer noch nicht wie ich auf die Ausgangsgleichung komme!?

lg markus

Bezug
                                                        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Sa 29.09.2007
Autor: schachuzipus

Hi Markus,

> Besten Dank =)
>  
> also für die Parameter hab ich raus:
>  
> [mm]A=\bruch{1}{2}[/mm]
>  [mm]B=-\bruch{1}{2}[/mm] [daumenhoch]
>  
> damit komme ich dann auf:
>  
> [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+3)}=\bruch{1}{2(n+1)}-\bruch{1}{2(n+3)}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+3)}=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3})[/mm] [daumenhoch]
>  
> das mit der PBZ macht schon Sinn aber ich seh immer noch
> nicht wie ich auf die Ausgangsgleichung komme!?

Das glaube ich dir nicht ;-)

Schreib doch mal alles hin...


[mm] $=...=\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)+\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{n+3}$ [/mm]

Nun [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ausklammern... dann steht's da


LG

schachuzipus


Bezug
                                                                
Bezug
Induktionsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Sa 29.09.2007
Autor: ragsupporter

quasi so?

[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}+\bruch{1}{2}(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3})=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})+\bruch{1}{2}(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+3})[/mm]

[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}+\bruch{1}{2}(\bruch{1}{n+2}=\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2})+\bruch{1}{2}(\bruch{1}{n+2})[/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Sa 29.09.2007
Autor: schachuzipus

Mach's dir nicht zu schwer und behalte im Hinterkopf, was du im Induktionsschritt zeigen willst:

Ich schreibs mal im Ganzen auf (die Ind.vor. mache ich in rot)

[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+2)}=\red{\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}\right)}+\blue{\frac{1}{(n+1)(n+3)}}=\red{\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)}+\blue{\frac{1}{(n+1)(n+3)}}$ [/mm]

[mm] $=\red{\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)}+\blue{\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{n+3}}=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\blue{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}}\right]=\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)$ [/mm]

Und genau das war ja zu zeigen ;-)


LG

schachuzipus

Bezug
                                                                                
Bezug
Induktionsbeweis: Ja jetz seh ichs auch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 Sa 29.09.2007
Autor: ragsupporter

besten dank...da starrt man ewigkeiten auf die gleichungen und siehts net

oh man

ich danke dir vielmals

lg markus

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