Induktionsbeweis? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche n [mm] \in \IN [/mm] gilt die Ungleichung n! [mm] \le (\bruch{n}{2})^{n}
[/mm]
(mit Beweis) |
kann ich hier ebenfalls einen Induktionsbeweis machen,
oder nicht, da ich es ja nicht für alle n [mm] \in \IN [/mm] beweisen kann....
wie bekomm ich alle n [mm] \in \IN [/mm] raus, sodass die Ungleichung erfüllt ist....
kann mir jemand einen Tip geben...?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
als erstes solltest du dir überlegen, für welche n das überhaupt gilt, hast du da schon eine Idee?
MfG,
Gono.
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ich habs mal ein bisschen umgeformt...
aber das bringt mich auch nicht weiter...
[mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] k [mm] \le (\bruch{n}{2})^{n}
[/mm]
aber das bringt mich auch nicht weiter...
nach der suche ab welchen n es gilt....
hab auch versucht die ausgangsgleichung umzustellen um einen
ausdruck zu erlangen, der mir die n liefert...
für n=1 ist es nicht gültig...
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Die Umformung bringt dich nicht weiter, weil das ja genau die Fakultät ist, nur anders hingeschrieben....
gut, du hast schon festgestellt, für n=1 gilt es nicht.... was ist mit n=2, n=3, n=4..... ?
Schreib dir mal auf, was da jeweils rauskommt.
Was fällt dir auf? Was schliesst du dadraus?
MFG,
Gono.
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naja, wenn ich das weiter fortsetze, komme ich dazu, dass erst ab n=6 die Ungleichung erfüllt wird....
wenn ich eine programmierte schleife als beweis nehmen könnte, wäre das ja eindeutig....
aber wie komm ich von der ausgangsgleichung durch umstellen darauf...
oder kann ich einen induktionsbeweis beginnen für n=6, dann für n+1 die Gültigkeit beweisen und n-1 widerlegen...?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo nickjagger!
Selbstverständlich kannst Du hier einen Induktion mit dem Startwert $n \ = \ 6$ durchführen. Damit ist die Ungleichung dann für alle natürlichen Zahlen größer-gleich 6 bewiesen.
Dass die Ungleichung für die restlichen 5 natürlichen nicht gilt, würde ich einfach durch entsprechendes Einsetzen zeigen!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:57 Mi 31.10.2007 | | Autor: | nickjagger |
gibst da nicht irgendwie noch ne andere möglichkeit...
weil Ausprobieren ist nicht gerade eine beliebte methode bei den profs...
was ist wenn eine ungleichung z.b. erst bei n=100 gültig wäre...,
durch Ausprobieren hätte ich das natürlich nicht so schnell herausbekommen...
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Hallo nickjagger!
> gibst da nicht irgendwie noch ne andere möglichkeit...
> weil Ausprobieren ist nicht gerade eine beliebte methode
> bei den profs...
> was ist wenn eine ungleichung z.b. erst bei n=100 gültig
> wäre...,
> durch Ausprobieren hätte ich das natürlich nicht so
> schnell herausbekommen...
Naja, um den Induktionsanfang zu finden, kann man doch mal ausprobieren, der Rest ist doch dann "richtige Mathematik"  . Und um den Startwert zu finden, kannst du notfalls eine Art binäre Suche anwenden. Wenn du also vermutest, dass es erst ab z. B. n=100 gilt, setzt du einfach mal 100 ein. Wenn es dann immer noch nicht gilt, kannst du es ja mit n=200 versuchen. Gilt es aber mit n=100, kannst du n=50 nehmen. Wenn es da auch gilt, nimmst du als nächstes n=25, wenn es bei 50 nicht gilt, nimmst du als nächstes n=75. Also immer die Mitte zwischen den beiden, wo du weißt, dass es bei dem einen gilt und bei dem anderen nicht. Denn irgendwo dazwischen muss ja die "Trennung" sein. (Und ![[]](/images/popup.gif) binäre Suche zählt nicht zu ausprobieren, sondern ist ein nicht unwichtiger Algorithmus.  )
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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