Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Also, ich hab da Probleme mit dem Induktionsbeweis. Ich muss folgende Aufgaben lösen.... ich hoffe ihr könnt mir helfen
1.
Beweisen sie mittels Induktion: [mm] "9^n [/mm] -1 ist durch 8 teilbar (ohne Rest) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN"
[/mm]
2. Beweisen sie mittels Induktion: [mm] $2*1!+5*2!+10*3!+...+(n^2+1)*n!=n*(n+1)!$
[/mm]
3. Beweisen sie mittels Induktion: 2n +1 [mm] <=2^n [/mm] für n= 3,4,5...
4. Behauptung: n Geraden schneiden sich höchstens in [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] Punkten
So das wärs... Vielen Dank schon im Voraus mfg tommy
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(Antwort) fertig | Datum: | 19:09 Sa 08.01.2005 | Autor: | mando |
Also: Bei Induktion musst du zunächst die Gleichung für deinen Startwert überprüfen(Induktionsanfang). Bei Aufgabe 1 wäre das: Für n=1 ist [mm] 9^{n} [/mm] - 1 = 8 und 8 teilt 8.
Dann nimmst du an, dass deine Gleichung für n = k erfüllt ist und schließt daraus dass sie dann auch für n = k+1 gelten muss. (Induktionsschluss)
Aufgabe 1:
Induktionsvorraussetzung: [mm] 9^{k}-1 [/mm] teilt 8
[mm] 9^{k+1}-1 [/mm] = [mm] 9\*9^{k}-1 [/mm] = [mm] (8+1)\*9^{k}-1 [/mm] = [mm] 8\*9^{k}+9^{k}-1
[/mm]
[mm] 8\*9^{k} [/mm] teilt 8 und [mm] 9^{k}-1 [/mm] teilt 8 nach Induktionsvorrausetzung.
Beweis beendet.
Die anderen Aufgaben gehen ähnlich, wenn dus trotzdem nicht hinkriegst meld dich nochmal.
Mfg Mando
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 13:33 So 09.01.2005 | Autor: | NachoNovo |
hallo mando
Vielen Dank für die Erklärung, jetzt komme ich langsam drauf wies funktioniert. Danke
mfg Tommy
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(Antwort) fertig | Datum: | 21:11 Sa 08.01.2005 | Autor: | Loddar |
Hallo NachoNovo,
zunächst einmal !!
In dieser Frage ist eine sehr ähnliche Frage bereits beantwortet worden.
Der Unterschied zu Deiner Aufgabe ist sehr gering, so daß Du diese nun bestimmt hinkriegst ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 13:39 So 09.01.2005 | Autor: | NachoNovo |
hi loddar
also ich hab mir das angeschaut und es hat geklappt, ist wirklich sehr ähnlich. Danke
mfg tommy
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(Antwort) fertig | Datum: | 23:42 Sa 08.01.2005 | Autor: | taura |
Also, du sollst beweisen (umformuliert):
[mm] \summe_{i=1}^{n} (i^2+1)*i!=n*(n+1)![/mm]
Der Start wirst du selbst schaffen, einfach n=1 setzen.
Für den Schritt [mm]n \to n+1[/mm] ist zu zeigen:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1} (i^2+1)*i!=(n+1)*(n+2)![/mm]
Es gilt:
[mm]\summe_{i=1}^{n+1} (i^2+1)*i![/mm]
[mm]=((n+1)^2+1)*(n+1)!+ \summe_{i=1}^{n} (i^2+1)*i![/mm]
[mm]^{I.V.}=n*(n+1)!+((n+1)^2+1)*(n+1)![/mm]
[mm]=(n+1)!*(n+(n+1)^2+1)[/mm]
[mm]=(n+1)!*((n+1)+(n+1)(n+1))[/mm]
[mm]=(n+1)!*((n+1)*(1+n+1))[/mm]
[mm]=(n+1)!*(n+1)*(n+2)[/mm]
[mm]=(n+1)*(n+2)![/mm]
Also gilt die Aussage für n+1, also auch für alle n.
[mm] \Box
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 13:37 So 09.01.2005 | Autor: | NachoNovo |
hi taura
also es hat geklappt, vielen herzlichen Dank
mfg tommy
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